Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace A ( X )

Marc Rogalski

Annales de l'institut Fourier (1972)

  • Volume: 22, Issue: 1, page 1-66
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
In this paper, we study, on the set 𝒮 ( X ) of the extremal points of a compact convex set X , facial topologies for which closed sets are the intersection with 𝒮 ( X ) of “parallel” faces (there exists a greatest face F ' disjoint of F , and, for every x in X , x = λ y + ( 1 - λ ) y ' , y F , y ' F ' , with λ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space A ( X ) of the affine continuous functions on X . This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of A ( X ) .Every function f of A ( X ) which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of f ( ψ ( f ) = ψ ( λ ) d e λ for ψ universally measurable on the “spectrum” of f ). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set X ; for example, if u has an extension to ( X ) which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function f .Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.

How to cite

top

Rogalski, Marc. "Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$." Annales de l'institut Fourier 22.1 (1972): 1-66. <http://eudml.org/doc/74065>.

@article{Rogalski1972,
abstract = {Cet article étudie, sur l’ensemble $\{\cal S\}(X)$ des points extrémaux d’un convexe compact $X$, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces $F$ “parallélisables” (il existe une plus grande face $F^\{\prime \}$ disjointe de $F$, et tout $x$ de $X$ s’écrit $x=\lambda y + (1-\lambda )y^\{\prime \},~y\in F,~y^\{\prime \}\in F^\{\prime \}$, avec $\lambda $ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace $A(X)$ des fonctions affines continues sur $X$. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de $A(X)$.Toute fonction $f$ de $A(X)$ continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de $f$ ($\psi (f)= \int \psi (\lambda ) de_\lambda $ pour $\psi $ universellement mesurable sur le “spectre” de $f$). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact $X$ ; en particulier, si $u$ est universellement mesurable sur $\{\cal S\}(X)$ pour la topologie faciale la moins fine rendant $f$ continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de $f$.Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.},
author = {Rogalski, Marc},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {1},
pages = {1-66},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$},
url = {http://eudml.org/doc/74065},
volume = {22},
year = {1972},
}

TY - JOUR
AU - Rogalski, Marc
TI - Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1972
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 22
IS - 1
SP - 1
EP - 66
AB - Cet article étudie, sur l’ensemble ${\cal S}(X)$ des points extrémaux d’un convexe compact $X$, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces $F$ “parallélisables” (il existe une plus grande face $F^{\prime }$ disjointe de $F$, et tout $x$ de $X$ s’écrit $x=\lambda y + (1-\lambda )y^{\prime },~y\in F,~y^{\prime }\in F^{\prime }$, avec $\lambda $ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace $A(X)$ des fonctions affines continues sur $X$. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de $A(X)$.Toute fonction $f$ de $A(X)$ continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de $f$ ($\psi (f)= \int \psi (\lambda ) de_\lambda $ pour $\psi $ universellement mesurable sur le “spectre” de $f$). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact $X$ ; en particulier, si $u$ est universellement mesurable sur ${\cal S}(X)$ pour la topologie faciale la moins fine rendant $f$ continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de $f$.Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74065
ER -

References

top
  1. [1] Erik ALFSEN, On the decomposition of a Choquet simplex into a direct convex sum of complementary faces, Math. Scand., t. 17, (1965), 169-176. Zbl0189.42801MR33 #3189
  2. [2] Erik ALFSEN and Tage Bai ANDERSEN, Split faces of compact convex sets, Aarhus Universitat, Reprint series, (1968/1969), n° 32. Zbl0232.46016
  3. [3] Heinz BAUER, Kennzeichnung kompakter Simplexe mit abgeschlossener Extremalpunktmenge, Archiv der Math., t. 14, (1963), 415-421. Zbl0196.42202MR29 #1352
  4. [4] Nicolas BOURBAKI, Topologie générale, Chapitre 9. 2e édition. - Paris, Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045 ; Bourbaki, 8). 
  5. [5] Gustave CHOQUET et Paul-André MEYER, Existence et unicité des représentations intégrales dans les convexes compacts quelconques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 13, (1963), 139-154. Zbl0122.34602MR26 #6748
  6. [6] Edwards EFFROS, Structure in simplexes, Acta Math., Uppsala, t. 117, (1967), 103-121. Zbl0154.14201MR34 #3287
  7. [7] Edwards EFFROS, Structure in simplexes, II, J. of funct. Anal., t. 1, (1967), 379-391. Zbl0179.17302MR36 #3108
  8. [8] Hachim FAKHOURY, Solution d'un problème posé par Effros, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, 77-79. Zbl0175.13106
  9. [9] Alain GOULLET de RUGY, Géométrie des simplexes. Paris, Centre de Documentation universitaire, (1968). Zbl0191.41101
  10. [10] Alain GOULLET de RUGY, Faces parallélisables et topologies faciales sur l'espace des états d'une algèbre stellaire, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 270, (1970), série A, 376-379. Zbl0186.44604
  11. [11] Gabriel MOKOBODZKI, Quelques propriétés des fonctions numériques convexes (s.c.i. ou s.c.s.) sur un ensemble convexe compact, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du potentiel, 6e année, (1961/1962), n° 9, 3 p. Zbl0115.32001
  12. [12] Rainer NAGEL, Ideal theorie in geordneten lokalkonvexen Vektorraümen, Dissertation, Eberhard-Karls-Universität, Tübingen, (1969). 
  13. [13] Robert PHELPS, Lecture on Choquet's theorem - Princeton, D. Van Nostrand mathematical Studies, 7). 
  14. [14] Marc ROGALSKI, Etude du quotient d'un simplexe par une face fermée, et application à un théorème de Alfsen ; quotient par une relation d'équivalence, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du potentiel, 12e année, 1967/1968, n° 2, 25 p. Zbl0177.37603
  15. [15] Marc ROGALSKI, Caractérisation des simplexes par des propriétés portant sur les faces fermées et sur les ensembles compacts de points extrémaux, Math. Scand. 28 (1971), 159-181. Zbl0225.46014MR46 #5978
  16. [16] Marc ROGALSKI, Quelques problèmes concernant une caractérisation des simplexes, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, p. 645-647. Zbl0182.16401MR40 #4728

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.