Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1

Maurice Garançon

Annales de l'institut Fourier (1972)

  • Volume: 22, Issue: 2, page 61-71
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper, we study the transversaly orientable foliations, of codimension 1 and class C r , r ≥ 2 , on a manifold M , such that there is no null-homotopic closed transversal. If i F is the inclusion of the leaf F in M , ( i F ) * the induced map between the fundamental groups, and φ F and anti-representation of holonomy for F , then this condition is equivalent to the following: Ker ( i F ) * ⊆ Ker φ F for all F . We prove: If M n is a manifold with a fundamental group containing a cyclic subgroup of finite index and ℱ a codimension 1 foliation on M n then:i) If the preceding conditions are satisfied by ℱ , a leaf with non zero holonomy is closed.ii) If ( i F ) * is one to one, for all F , a leaf intersected by a closed transversal has a finite fundamental group.iii) If n = 3 and M is compact, ℱ has a compact leaf.

How to cite

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Garançon, Maurice. "Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1." Annales de l'institut Fourier 22.2 (1972): 61-71. <http://eudml.org/doc/74083>.

@article{Garançon1972,
abstract = {Dans cet article nous étudions les feuilletages, transversalement orientables, de codimension 1 et classe $C^r$, $r\ge 2$, qui n’admettent aucune transversale fermée nulle-homotope. Si $i_F$ est l’inclusion de la feuille $F$, $(i_F)_*$ l’application induite sur les groupes fondamentaux, et $\varphi _F$ une antireprésentation d’holonomie de $F$, alors cette condition est équivalente à la suivante :\begin\{\}\{\rm Ker\}(i\_F)\_* \subseteq \{\rm Ker\} \varphi \_F\; \text\{pour\} \text\{toute\} \text\{feuille\} \; F.\end\{\}Résultats : Si $M^n$ est une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe cyclique d’indice fini, et si $\{\cal F\}$ est un feuilletage de codimension 1 de $M^n$ on a :i) Si $\{\cal F\}$ satisfait aux conditions énumérées ci-dessus, toute feuille, dont l’holonomie est non zéro, est fermée.ii) Si $(i_F)_*$ est injectif, pour tout $F$, toute feuille coupée par une transversale fermée possède un groupe fondamental fini.iii) Si $n=3$ et $M$ est compacte, $\{\cal F\}$ possède une feuille compacte.},
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TY - JOUR
AU - Garançon, Maurice
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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AB - Dans cet article nous étudions les feuilletages, transversalement orientables, de codimension 1 et classe $C^r$, $r\ge 2$, qui n’admettent aucune transversale fermée nulle-homotope. Si $i_F$ est l’inclusion de la feuille $F$, $(i_F)_*$ l’application induite sur les groupes fondamentaux, et $\varphi _F$ une antireprésentation d’holonomie de $F$, alors cette condition est équivalente à la suivante :\begin{}{\rm Ker}(i_F)_* \subseteq {\rm Ker} \varphi _F\; \text{pour} \text{toute} \text{feuille} \; F.\end{}Résultats : Si $M^n$ est une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe cyclique d’indice fini, et si ${\cal F}$ est un feuilletage de codimension 1 de $M^n$ on a :i) Si ${\cal F}$ satisfait aux conditions énumérées ci-dessus, toute feuille, dont l’holonomie est non zéro, est fermée.ii) Si $(i_F)_*$ est injectif, pour tout $F$, toute feuille coupée par une transversale fermée possède un groupe fondamental fini.iii) Si $n=3$ et $M$ est compacte, ${\cal F}$ possède une feuille compacte.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74083
ER -

References

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  1. [1] M. GARANÇON, Le rang de certaines variétés closes, Annales de l'institut Fourier, Tome XX, Fasc. 1 (1970). Zbl0187.20402MR42 #1142
  2. [2]' A. HAEFLIGER, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Commentarii Mathematici Helvetici, Vol. 32 (1958). Zbl0085.17303MR20 #6702
  3. [3] A. HAEFLIGER, Variétés feuilletées, Annal. della Scuola Normale Superiore di Pisa, III, XVI (1962). Zbl0122.40702
  4. [4] C. LAMOUREUX, Feuilletages de codimension 1. Holonomie et homotopie, C.R. Académie des Sciences, Tome 270, N° 26 (Juin 1970). Zbl0203.25801MR43 #4059
  5. [5]' G. REEB, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Scientifiques et industrielles, Hermann, Paris (1952). Zbl0049.12602MR14,1113a
  6. [6] D. TISCHLER, On fibering certain foliated manifolds overs S1 Topology, Vol. 9, N° 2 (1970). Zbl0177.52103MR41 #1069

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