Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles

D. Bucchioni; André Goldman

Annales de l'institut Fourier (1976)

  • Volume: 26, Issue: 3, page 173-209
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
The purpose of this paper, motivated by the Orlicz-Pettis theorem, is to study the finest locally convex topology T 1 on a locally convex space E under which every E -valued vector measure is 1 -bounded. In order to do this, we consider the space G 1 ' of all linear forms x ' on E such that, for each sequence ( x n ) which is “subseries-convergent” in E , the series ( ⟨ x n , x ' ⟩ ) is unconditionally convergent. This topology T 1 , which is the Mackey topology of the dual pair ⟨ E , G 1 ' ⟩ , is bornological and barrelled, but E , T 1 ) is not the bornological and barrelled space associated with E . In order to prove this latter result, we investigate “Valdivia spaces" using “Souslin’s ( A ) -operation” and some techniques based on the theory of universal mesurability. Some others particular cases are examined: when E is a space of continuous real-valued functions, a product of locally convex spaces, etc.

How to cite

top

Bucchioni, D., and Goldman, André. "Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles." Annales de l'institut Fourier 26.3 (1976): 173-209. <http://eudml.org/doc/74290>.

@article{Bucchioni1976,
abstract = {En liaison avec le théorème d’Orlicz-Pettis, on étudie la plus fine topologie localement convexe $\{\bf T\}_1$ sur un elc $E$ pour laquelle toute mesure définie sur une tribu et à valeurs dans $E$ est $\{\bf T\}_1$-bornée. Pour cela, on considère l’espace $G^\{\prime \}_1$ des formes linéaires $x^\{\prime \}$ sur $E$ telles que, pour toute suite $(x_n)$ sous-série convergente de $E$, on ait $\Sigma |\langle x_n,x^\{\prime \}\rangle | &lt; +\infty $. La topologie $\{\bf T\}_1$ coïncide avec la topologie de Mackey $\tau (E,G^\{\prime \}_1)$ ; elle est bornologique et tonnelée, mais ce n’est pas la topologie bornologique et tonnelée associée à $E$. Ce point est établi en étudiant, par des méthodes basées sur la mesurabilité universelle et l’opération (A) de Souslin, les espaces de M. Valdivia. D’autres cas particuliers sont examinés : espaces de fonctions continues, produits d’elc. etc.},
author = {Bucchioni, D., Goldman, André},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {3},
pages = {173-209},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles},
url = {http://eudml.org/doc/74290},
volume = {26},
year = {1976},
}

TY - JOUR
AU - Bucchioni, D.
AU - Goldman, André
TI - Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1976
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 26
IS - 3
SP - 173
EP - 209
AB - En liaison avec le théorème d’Orlicz-Pettis, on étudie la plus fine topologie localement convexe ${\bf T}_1$ sur un elc $E$ pour laquelle toute mesure définie sur une tribu et à valeurs dans $E$ est ${\bf T}_1$-bornée. Pour cela, on considère l’espace $G^{\prime }_1$ des formes linéaires $x^{\prime }$ sur $E$ telles que, pour toute suite $(x_n)$ sous-série convergente de $E$, on ait $\Sigma |\langle x_n,x^{\prime }\rangle | &lt; +\infty $. La topologie ${\bf T}_1$ coïncide avec la topologie de Mackey $\tau (E,G^{\prime }_1)$ ; elle est bornologique et tonnelée, mais ce n’est pas la topologie bornologique et tonnelée associée à $E$. Ce point est établi en étudiant, par des méthodes basées sur la mesurabilité universelle et l’opération (A) de Souslin, les espaces de M. Valdivia. D’autres cas particuliers sont examinés : espaces de fonctions continues, produits d’elc. etc.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74290
ER -

References

top
  1. [1] H. BUCHWALTER, Espaces vectoriels bornologiques, Publ. Dép. Math. Lyon, 2-1 (1965), 2-53. Zbl0137.09303MR32 #6183
  2. [2] H. BUCHWALTER, Espaces ultrabornologiques et b-réflexivité, Publ. Dép. Math. Lyon, 8-1 (1971), 91-106. Zbl0252.46010MR47 #9220
  3. [3] H. BUCHWALTER, Sur le théorème de Nachbin-Shirota, J. Math. Pures et Appl., 51 (1972), 399-418. Zbl0247.46005MR48 #827
  4. [4] H. BUCHWALTER et SCHMETS, Sur quelques propriétés de l'espace Cs (T), J. Math. Pures et Appl., 52 (1973), 337-352. Zbl0268.46025MR48 #12012
  5. [5] G. CHOQUET, Ensembles K-analytiques et K-sousliniens. Cas général et cas métrique, Ann. Inst. Fourier Grenoble, 9 (1959), 75-81. Zbl0094.03403MR22 #3692a
  6. [6] J.P.R. CHRISTENSEN, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israël J. Math., 13, 3 et 4 (1972), 255-260. Zbl0249.43002MR48 #4637
  7. [7] J. DIESTEL, Applications of weak compactness and bases to vector measures and vectorial integration, Revue Roum. Math. Pures et Appl., XVIII-2 (1973), 211-224. Zbl0267.46035MR47 #5590
  8. [8] L. DREWNOWSKI, Topological rings of sets, continuous set functions, integration II, Bull. Acad. Polon. Sc., 20 (1972), 277-286. Zbl0249.28005
  9. [9] L. DREWNOWSKI, Uniform boundedness principle for finitely additive vector measures, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 115-118. Zbl0248.28007MR47 #5217
  10. [10] L. DREWNOWSKI et I. LABUDA, Sur quelques théorèmes du type d'Orlicz-Pettis II, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 119-126. Zbl0256.28010MR47 #5220
  11. [11] N. DUNFORD et J.T. SCHWARTZ, Linear operators I, (1958), New-York. Zbl0084.10402MR22 #8302
  12. [12] L. GILLMAN et M. JERISON, Rings of continuous functions, (1960), Princeton. Zbl0093.30001MR22 #6994
  13. [13] A. GOLDMAN, Sur les ensembles universellement mesurables dans les espaces localement convexes, Publ. Dép. Math. Lyon, 12-2 (1975), 1-29. Zbl0324.46004MR53 #1208
  14. [14] A. GROTHENDIECK, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem. Amer. Math. Soc., 16 (1955). Zbl0064.35501MR17,763c
  15. [15] G. KÖTHE, Topological vector spaces I, (1969). Zbl0179.17001
  16. [16] I. LABUDA, Sur quelques généralisations des théorèmes de Nikodým et de Vitali-Hahn-Saks, Bull. Acad. Polon. Sc., 20 (1972), 447-456. Zbl0242.28003MR49 #5290
  17. [17] I. LABUDA, Sur quelques théorèmes du type d'Orlicz-Pettis I, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 127-132. Zbl0256.28009MR47 #5219
  18. [18] K. NOUREDDINE, L'espace bornologique tonnelé associé à un espace localement convexe, C.R. Acad. Sc., Paris, 275, série A (1972), 977-979. Zbl0246.46005MR50 #923
  19. [19] V. PTAK, Completeness and the open mapping theorem, Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 41-74. Zbl0082.32502MR21 #4345
  20. [20] A. ROBERT, Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques, Comment. Math. Helvet., 42-4 (1967), 314-342. Zbl0161.33004MR43 #2460
  21. [21] J. SCHMETS et M. DE WILDE, Caractérisation des espaces C (X) ultrabornologiques, Bull. Soc. Roy. Sc. Liège, 40e année, 3-4 (1971), 113-121. Zbl0216.41001MR45 #872
  22. [22] E. THOMAS, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 20-2 (1970), 55-191. Zbl0195.06101MR57 #3348
  23. [23] E. THOMAS, The Lebesgue-Nikodým theorem for vector-valued Radon measures, Mem. Amer. Math. Soc., 139 (1974). Zbl0282.28004
  24. [24] I. TWEDDLE, Unconditional convergence and vector-valued measures, J. London Math. Soc., 2-2 (1970), 603-610. Zbl0199.20402MR42 #5006
  25. [25] M. VALDIVIA, A class of bornological barrelled spaces which are not ultrabornological, Math. Ann., 194 (1971), 43-51. Zbl0207.42701MR47 #2307

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.