Sur les entiers N pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre N

Jean-Louis Nicolas

Annales de l'institut Fourier (1978)

  • Volume: 28, Issue: 4, page 1-16
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let a ( n ) be the number of abelian groups of order n . To deal with large values taken by a ( n ) , as Ramanujan has done with the number of divisors of n , a -highly composite and superior a -highly composite numbers are defined. To compute these numbers, the vertices of the inferior convex envelope of the function log P ( n ) , where P ( n ) is the number of partitions of n , are determined. Under Riemann hypothesis, an asymptotic development of the maximal order of a ( n ) is given .

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Nicolas, Jean-Louis. "Sur les entiers $N$ pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre $N$." Annales de l'institut Fourier 28.4 (1978): 1-16. <http://eudml.org/doc/74381>.

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ER -

References

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  1. [1]BURNSIDE, Theory of groups of finite order, Dover Publications (1955). Zbl0064.25105MR16,1086c
  2. [2]P. DELIGNE et J. P. SERRE, Formes modulaires de poids 1, Annales Scientifiques de l'E.N.S., 4e série, 7 (1974), 507-530. Zbl0321.10026MR52 #284
  3. [3]W. J. ELLISON et M. MENDES-FRANCE, Les nombres premiers, Hermann (1975), Actualités Scientifiques et Industrielles n° 1366. Zbl0313.10001MR54 #5138
  4. [4]P. ERDÖS und G. SZEKERES, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Reg. Univ. Hungar. Fr.-Jos., Sect. Sci. Math., 7 (1934), 94-103. Zbl0010.29402JFM60.0893.02
  5. [5]P. ERDOS et J. L. NICOLAS, Répartition des nombres superabondants, Bull. Soc. Math. France, 103 (1975), 65-90. Zbl0306.10025MR54 #257
  6. [6]G. H. HARDY, Divergent series, Oxford at the Clarendon Press, (1949). Zbl0032.05801MR11,25a
  7. [7]G. H. HARDY and S. RAMANUJAN, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc. of the London Math. Soc., 2, XVII (1918), 75-115 and Collected Papers of S. Ramanujan, p. 276 à 309. Zbl46.0198.02JFM46.0198.04
  8. [8]G. H. HARDY and E. M. WRIGHT, An introduction to the theory of numbers, Oxford at the Clarendon Press, 4th edition (1962). Zbl0086.25803
  9. [9]E. HEPPNER, Die maximale Ordnung primzahl-unabhängiger multiplikativer Funktionen, Arch. Math., XXIV (1973), 63-66. Zbl0254.10038MR47 #8462
  10. [10]D. G. KENDALL and R. A. RANKIN, On the number of abelian groups of a given order, Quart J. Math., Oxford, ser. 18 (1947), 197-208. Zbl0031.15303MR9,226c
  11. [11]J. KNOPFMACHER, Arithmetical properties of finite rings and algebras, and analytic number theory I to VI, J. Reine angew. Math. 252 (1972), 16-43 ; 254 (1972), 74-99 ; 259 (1973), 157-170 ; 270 (1974), 97-114 ; 271 (1974), 95-121 ; 277 (1975), 45-62. Zbl0246.10032MR47 #1769
  12. [12]J. KNOPFMACHER, A prime divisor function, Proc. Amer. Math. Soc., 40 (1973), 373-377. Zbl0267.10059MR48 #6036
  13. [13]E. KRATZEL, Die Maximale Ordnung der Anzahl der wesentlich verschiedenen Abelschen Gruppen n-ter Ordnung, Quart J. Math., Oxford, (2) 21 (1970), 273-275. Zbl0206.03402MR42 #3171
  14. [14]J. L. NICOLAS, Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan, Can. J. Math., vol. XXIII, n° 1, (1971), 116-130. Zbl0213.06602MR43 #165
  15. [15]J. L. NICOLAS, Grandes valeurs des fonctions arithmétiques, Séminaire de théorie des nombres Delange-Pisot-Poitou, Paris (1974-1975), 16e année, n° G. 20. Zbl0324.10043
  16. [16]S. RAMANUJAN, Highly composite numbers, Proc. of the London Math. Soc., 2, 14 (1915), 347-409 ; et Collected papers, p. 78-128, Chelsea (1927). JFM45.0286.02
  17. [17]H. RADEMACHER, Topics in analytic number theory, Die Grundlehren der Math. Wiss., Band n° 169, Springer-Verlag (1973). Zbl0253.10002MR51 #358
  18. [18]P. G. SCHMIDT, Uber die Anzahl abelscher Gruppen, Oberwolfach, Novembre (1975). 
  19. [19]W. SCHWARZ and E. WIRSING, The maximal number of non-isomorphic abelian groups of order n, Arch. Math., XXIV (1973), 59-62. Zbl0251.10035MR47 #4953
  20. [20]B. R. SRINIVASAN, On the number of Abelian groups of a given order, Acta Arith., 23 (1973), 195-205. Zbl0228.10022MR49 #2610
  21. [21]S. WIGERT, Sur l'ordre de grandeur du nombre des diviseurs d'un entier, Arkiv för Mathematik, vol. 3, n° 18 (1906-1907), 1-9. JFM38.0249.01
  22. [22]Problèmes et Solutions, Can. Math. Bull., 7 (1964), 307. 

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