Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues

Thierry Fack; Pierre de La Harpe

Annales de l'institut Fourier (1980)

  • Volume: 30, Issue: 3, page 49-73
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let M be a finite von Neumann algebra. We show that the space of finite sums of commutators in M is equal to the kernel of the central trace. If M is a factor, it follows for example that any element is a finite linear combination of projections of dimension 1/2. We also show in this case that the derived group of G L ( M ) is equal to the kernel of the Fuglede-Kadison determinant.

How to cite

top

Fack, Thierry, and La Harpe, Pierre de. "Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues." Annales de l'institut Fourier 30.3 (1980): 49-73. <http://eudml.org/doc/74465>.

@article{Fack1980,
abstract = {Soit $M$ une algèbre de von Neumann finie. Nous montrons que l’espace des sommes finies de commutateurs de $M$ coïncide avec le noyau de la trace centrale. Si $M$ est un facteur, il en résulte par exemple que tout élément est une combinaison linéaire finie de projecteurs de dimension $1/2$. Nous montrons aussi dans ce cas que le groupe dérivé de $GL(M)$ coïncide avec le noyau du déterminant de Fuglede-Kadison.},
author = {Fack, Thierry, La Harpe, Pierre de},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {central trace; factor; kernel; Fuglede Kadison determinant commutator},
language = {fre},
number = {3},
pages = {49-73},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues},
url = {http://eudml.org/doc/74465},
volume = {30},
year = {1980},
}

TY - JOUR
AU - Fack, Thierry
AU - La Harpe, Pierre de
TI - Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1980
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 30
IS - 3
SP - 49
EP - 73
AB - Soit $M$ une algèbre de von Neumann finie. Nous montrons que l’espace des sommes finies de commutateurs de $M$ coïncide avec le noyau de la trace centrale. Si $M$ est un facteur, il en résulte par exemple que tout élément est une combinaison linéaire finie de projecteurs de dimension $1/2$. Nous montrons aussi dans ce cas que le groupe dérivé de $GL(M)$ coïncide avec le noyau du déterminant de Fuglede-Kadison.
LA - fre
KW - central trace; factor; kernel; Fuglede Kadison determinant commutator
UR - http://eudml.org/doc/74465
ER -

References

top
  1. [1] M. BROISE, Commutateurs dans le groupe unitaire d'un facteur, J. Math. pures et appl., 46 (1967), 299-312. Zbl0191.42703MR36 #6947
  2. [2] A. BROWN et C. PEARCY, Structure of commutators of operators, Ann. Math., 82 (1965), 112-127. Zbl0131.12302MR31 #2612
  3. [3] A. BROWN et C. PEARCY, Commutators in factors of type III, Canad. J., 18 (1966), 1152-1160. Zbl0166.11501MR34 #1864
  4. [4] A. CONNES, Periodic automorphisms of the hyperfinite factor of type II1, Acta. Sci. Math., 39 (1977), 39-66. Zbl0382.46027MR56 #6411
  5. [5] H.G. DALES, Automatic continuity: a survey, Bull. London Math. Soc., 10 (1978), 129-183. Zbl0391.46037MR80c:46053
  6. [6] D. DECKARD et C. PEARCY, On continuous matrix — valued functions on a stonian space, Pac. J. Math., 14 (1964), 857-869. Zbl0172.41304MR30 #2356
  7. [7] J. DIXMIER, Sous-anneaux abéliens maximaux dans les facteurs de type fini, Ann. Math., 59 (1954), 279-286. Zbl0055.10702MR15,539b
  8. [8] J. DIXMIER, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien (algèbres de von Neumann), 2ème édition - Gauthier-Villars 1969. Zbl0175.43801
  9. [9] Th. FACK, Sur la notion de valeur caractéristique, Préprint. 
  10. [10] H. HALPERN, Commutators in properly infinite von Neumann algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 139 (1969), 55-73. Zbl0176.11403MR40 #4773
  11. [11] H. HALPERN, Essential central range and self-adjoint commutators in properly infinite von Neumann algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 228 (1972), 117-146. Zbl0356.46056MR55 #3807
  12. [12] P. de la HARPE, Les extensions de gl(E) par un noyau de dimension finie sont triviales, J. Functional Analysis, 33 (1979), 362-373. Zbl0428.17007MR81b:22019
  13. [13] R.A. HOWLAND, Lie isomorphisms of derived rings of simple rings, Trans. Amer. Math. Soc., 145 (1969), 383-396. Zbl0201.03903MR40 #5661
  14. [14] I.N. HERSTEIN, Topics in ring theory, Chicago Lectures in Mathematics, 1969. Zbl0232.16001MR42 #6018
  15. [15] I.N. HERSTEIN, Lie and Jordan structures in simple associative rings, Bull. Amer. Math. Soc., 67 (1961), 517-531. Zbl0107.02704MR25 #3072
  16. [16] C. LANSKI, Group of units of a simple ring, J. of algebra, 16 (1970), 108-28. Zbl0199.35402MR42 #4586
  17. [17] A. LIEBERMANN, Adjoint representations of factor groups, Michigan Math. J., 24 (1977), 109-113. Zbl0344.46129MR56 #12916
  18. [18] C.R. MIERS, Lie derivations of von Neumann algebras, Duke Math. J., 40 (1973), 403-409. Zbl0264.46064MR47 #4015
  19. [19] C.R. MIERS, Derived ring isomorphisms of von Neumann algebras, Canad. J. Math., 25 (1973), 1254-1268. Zbl0268.46054MR49 #1140
  20. [20] F.J. MURRAY et J. von NEUMANN, On rings of operators, Ann. of Math., 37 (1936), 116-229. Zbl0014.16101JFM62.0449.03
  21. [21] C. PEARCY et D. TOPPING, Sums of small numbers of idempotents, Michigan Math. J., 14 (1968), 453-465. Zbl0156.38102MR36 #2006
  22. [22] C. PEARCY et D. TOPPING, Commutators and certain II1-factors, J.F.A., 3 (1969), 69-78. Zbl0174.18704MR39 #789
  23. [23] C. PEARCY et D. TOPPING, On commutators in ideals of compact operators, Michigan Math. J., 18 (1971), 247-252. Zbl0226.46066MR44 #2077
  24. [24] D. RUELLE, Statistical mechanics, Benjamin (1969). 
  25. [25] S. SAKAI, C*-algebras and W*-algebras, Springer, 1971. Zbl0219.46042MR56 #1082
  26. [26] K. SHODA, Einige Sätze über Matrizen, Jap. J. Math., 13 (1936), 395-406. JFM63.0842.03
  27. [27] H. SUNOUCHI, Infinite Lie rings, Tohoku Math. J., 8 (1956). 291-307. Zbl0074.09904MR21 #75
  28. [28] D. TOPPING, Transcendental quasi-nilpotents in operator algebras, J.F.A., 2 (1968), 342-351. Zbl0183.42402MR38 #1535

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.