# Localisation formelle et groupe de Picard

• Volume: 33, Issue: 4, page 19-82
• ISSN: 0373-0956

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## Abstract

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Let $X$ be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field $K$. Let $X$ affinoid with canonical reduction $r:X\to \stackrel{^}{X}$ and let $\rho \in \stackrel{^}{X}$. The singularity of the point $p$ is described with the help of certain $K$-algebra’s associated with $X$ namely :(i) the formal localization ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ which is noetherian, has ${r}^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and has reduction ${𝒪}_{\stackrel{^}{X},p}$.(ii) The formal completion ${\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}$, again noetherian with ${r}^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and with reduction ${\stackrel{^}{𝒪}}_{\stackrel{^}{X},p}$.The essential results are obtained for a regular $X$ of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) $p$ is an ordinary multiple point, (b) Pic$\left({\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$, ${r}^{-1}\left(p\right)$ is locally isomorphic to ${\mathbf{P}}_{K}^{1}$. For an ordinary multiple point $p$ one finds Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)\simeq |{K}^{×}{|}^{n-s}/Z$ where $n$ is the multiplicity of $p$, the number of irreducible components through $p$ is $s$, and $Z$ is a subgroup of $|{K}^{×}{|}^{n-s}$ generated by at most $\left(n-1\right)$ elements. In particular Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ if and only if $p$ is a multiple intersection.

## How to cite

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Fresnel, Jean, and Put, Marius Van Der. "Localisation formelle et groupe de Picard." Annales de l'institut Fourier 33.4 (1983): 19-82. <http://eudml.org/doc/74606>.

@article{Fresnel1983,
abstract = {Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r:X\rightarrow \widehat\{X\}$ sa réduction canonique et $p\in \widehat\{X\}$ un point de la variété algébrique affine $\widehat\{X\}$. Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$: la localisation formelle $\{\cal O\}_\{X,(p)\}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne de spectre maximal $r^\{-1\}(p)$ et dont la réduction est $\{\cal O\}_\{\{\widehat\{X\}\},(p)\}$ ; un complété formel $\{\cal O\}_\{X,(p)\}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne dont la réduction est $\{\cal O\}_\{\{\widehat\{X\}\},(p)\}$. Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic$(\{\widehat\{\cal O\}\}_\{X,(p)\})=(1)$ (le groupe de Picard de $\{\widehat\{\cal O\}\}_\{X,(p)\}$ est trivial) ; $r^\{-1\}(p)$ est localement isomorphe à $\{\bf P\}^1_K$. Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic$(\{\cal O\}_\{X,(p)\})\simeq \vert K^\times \vert ^\{n-s\}/Z$ où $n$ est la multiplicité du point $p$, $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\widehat\{X\}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $\vert \{\bf K\}^\times \vert ^\{n-s\}$ engendré par, au plus, $n-1$ éléments. En particulier, Pic$(\{\cal O\}_\{X,(p)\})=(1)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.},
author = {Fresnel, Jean, Put, Marius Van Der},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {trivial Picard group; formal localization; affinoid space; multiple point},
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publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
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volume = {33},
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TY - JOUR
AU - Fresnel, Jean
AU - Put, Marius Van Der
TI - Localisation formelle et groupe de Picard
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1983
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 33
IS - 4
SP - 19
EP - 82
AB - Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r:X\rightarrow \widehat{X}$ sa réduction canonique et $p\in \widehat{X}$ un point de la variété algébrique affine $\widehat{X}$. Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$: la localisation formelle ${\cal O}_{X,(p)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne de spectre maximal $r^{-1}(p)$ et dont la réduction est ${\cal O}_{{\widehat{X}},(p)}$ ; un complété formel ${\cal O}_{X,(p)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne dont la réduction est ${\cal O}_{{\widehat{X}},(p)}$. Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic$({\widehat{\cal O}}_{X,(p)})=(1)$ (le groupe de Picard de ${\widehat{\cal O}}_{X,(p)}$ est trivial) ; $r^{-1}(p)$ est localement isomorphe à ${\bf P}^1_K$. Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic$({\cal O}_{X,(p)})\simeq \vert K^\times \vert ^{n-s}/Z$ où $n$ est la multiplicité du point $p$, $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\widehat{X}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $\vert {\bf K}^\times \vert ^{n-s}$ engendré par, au plus, $n-1$ éléments. En particulier, Pic$({\cal O}_{X,(p)})=(1)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.
LA - fre
KW - trivial Picard group; formal localization; affinoid space; multiple point
UR - http://eudml.org/doc/74606
ER -

## References

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