Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot

Anne Bertrand-Mathis

Annales de l'institut Fourier (1985)

  • Volume: 35, Issue: 3, page 1-32
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let θ be a Pisot number of degree s . We have shown in a previous article that the endomorphism of the torus T s associated to θ is a factor of the θ -shift by a continuous map q s . In theorem 1, we prove that q s preserves the entropy of all invariant measures on the θ -shift. This enables us to define the entropy of a real number expanded in basis θ and to study its properties. Our results generalize those of Kamae, Rauzy and Bernay.

How to cite

top

Bertrand-Mathis, Anne. "Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot." Annales de l'institut Fourier 35.3 (1985): 1-32. <http://eudml.org/doc/74684>.

@article{Bertrand1985,
abstract = {Soit $\theta $ un nombre de Pisot de degré $s$ ; nous avons montré précédemment que l’endomorphisme du tore $\{\bf T\}^ s$ dont $\theta $ est valeur propre est facteur du $\theta $-shift bilatéral par une application continue $q_ s$ ; nous prouvons ici (théorème 1) que l’application $q_ s$ conserve l’entropie de toute mesure invariante sur le $\theta $-shift. Ceci permet de définir l’entropie d’un nombre dans la base $\theta $ et d’en étudier la stabilité. Nous généralisons également des résultats de Kamae, Rauzy et Bernay.},
author = {Bertrand-Mathis, Anne},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {ergodic theory; Pisot number; Pisot basis; entropy; invariant measure; expansion of real numbers},
language = {fre},
number = {3},
pages = {1-32},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot},
url = {http://eudml.org/doc/74684},
volume = {35},
year = {1985},
}

TY - JOUR
AU - Bertrand-Mathis, Anne
TI - Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1985
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 35
IS - 3
SP - 1
EP - 32
AB - Soit $\theta $ un nombre de Pisot de degré $s$ ; nous avons montré précédemment que l’endomorphisme du tore ${\bf T}^ s$ dont $\theta $ est valeur propre est facteur du $\theta $-shift bilatéral par une application continue $q_ s$ ; nous prouvons ici (théorème 1) que l’application $q_ s$ conserve l’entropie de toute mesure invariante sur le $\theta $-shift. Ceci permet de définir l’entropie d’un nombre dans la base $\theta $ et d’en étudier la stabilité. Nous généralisons également des résultats de Kamae, Rauzy et Bernay.
LA - fre
KW - ergodic theory; Pisot number; Pisot basis; entropy; invariant measure; expansion of real numbers
UR - http://eudml.org/doc/74684
ER -

References

top
  1. [1] M. BERNAY, La dimension de Hausdorff de l'ensemble des nombres r-déterministes, C.R.A.S., 280 (1975), 539-541. Zbl0294.10039MR51 #8064
  2. [2] A. BERTRAND, Répartition module un de la suite (xθn)n≥0 et développements en base de Pisot (à paraître). Zbl0362.10040
  3. [3] H. FÜRSTENBERG, Disjointness in ergodic Theory, minimal sets and a problem in diophantine approximation, Math. Syst. Th., 1 (1967), 1-50. Zbl0146.28502MR35 #4369
  4. [4] ITO-TAKAHASHI, Markov subshifts and realisation of β-expansions, J. Math. Soc. Japan, vol. 26, n° 1 (1974). Zbl0269.28006
  5. [5] T. KAMAE, Subsequences of normal sequences, Israel J. of Math., 16, 2 (1973), 121-149. Zbl0272.28012MR49 #3086
  6. [6] M. MISUREWICZ, Topological Conditional Entropy, Studia Mathematica, LV (1976), 175-200. Zbl0355.54035MR54 #3672
  7. [7] W. PARRY, On the β expansions of Real Numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11 (1960), 401-416. Zbl0099.28103MR26 #288
  8. [8] W. PARRY, Entropy and Generators in Ergodic Theory, Benjamin, 1969. Zbl0175.34001MR41 #7071
  9. [9] PINSKER, Dynamical systems with completely positive an zero entropy, Dok. Akad. Nauk. SSSR, 133 (1960), 1025-1026. Zbl0099.12302MR27 #2603
  10. [10] G. RAUZY, Nombres normaux et Processus déterministes, Acta Arithmetica, 29 (1996), 211-225. Zbl0287.10049MR53 #7995
  11. [11] RENYI, Representations for real numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 8 (1957), 447-493. Zbl0079.08901
  12. [12] M. SMORODINSKY, Ergodic Theory, Entropy, Lecture Notes in Mathematics, n° 214 (1971). Zbl0213.07502MR54 #10568
  13. [13] P. WALTERS, Ergodic Theory, Lectures Notes. 
  14. [14] F. HOFBAUER, B-shifts have unique maximal measure, Monatshefte, 85 (1978), 189-198. Zbl0384.28009MR58 #11326

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.