Modules pour les familles de courbes planes

Jean-Paul Dufour

Annales de l'institut Fourier (1989)

  • Volume: 39, Issue: 1, page 225-238
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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The study of smooth plane curves family is moreless the study of “divergent” diagrams f S σ 2 where S is a surface, f and σ being smooth. In the classification of such diagrams appear three types of moduli: local moduli corresponding to every cusp of σ , semi-local moduli corresponding to superposition of different local situations and global moduli corresponding to each “contact curve” where two curves of the family are tangent. Giving a very precise canonical form for generic cusps we explicit local moduli. We also describe global moduli: we attach to each contact curve a “false” billiard, cycles of which give invariants for the classification. It follows, among others, that there are no stable ( f , σ ) when S is compact.

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Dufour, Jean-Paul. "Modules pour les familles de courbes planes." Annales de l'institut Fourier 39.1 (1989): 225-238. <http://eudml.org/doc/74827>.

@article{Dufour1989,
abstract = {L’étude des familles de courbes plane différentiables se ramène a celle des diagrammes\begin\{\}\{\Bbb R\} \mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}\leftarrow \}\limits ^\{f\}\}S \mathrel \{\mathop \{\hspace\{0.0pt\}\rightarrow \}\limits ^\{\sigma \}\}\{\Bbb R\}^2\end\{\}où $S$ est une surface, $f$ et $\sigma $ étant différentiables. Dans la classification de ces diagrammes à équivalence près il apparaît trois types de modules: des modules locaux attachés à chaque fronce de $\sigma $, des modules semi-locaux attachés à la superposition en un même point de plusieurs situations locales, des modules globaux attachés aux “courbes de contact” le long desquelles certaines courbes sont tangentes. Nous explicitons ici les modules locaux en donnant une forme canonique très précise des fronces “génériques”. Par ailleurs nous décrivons les modules globaux : on montre qu’à chaque courbe de contact est associé un “faux billard” dont les cycles donnent des invariants. On en déduit en particulier que, si $S$ est une surface compacte, $(f,\sigma )$ ne peut être stable.},
author = {Dufour, Jean-Paul},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {family of plane differentiable curves; curve of contact; tangent curve; topologically stable family of curves; stable singular family of curves; transverse cusps; false billiards},
language = {fre},
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pages = {225-238},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Modules pour les familles de courbes planes},
url = {http://eudml.org/doc/74827},
volume = {39},
year = {1989},
}

TY - JOUR
AU - Dufour, Jean-Paul
TI - Modules pour les familles de courbes planes
JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 39
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SP - 225
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LA - fre
KW - family of plane differentiable curves; curve of contact; tangent curve; topologically stable family of curves; stable singular family of curves; transverse cusps; false billiards
UR - http://eudml.org/doc/74827
ER -

References

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  1. [1] V.I. ARNOL'D, Wave fronts evolution and equivariant Morse lemma, Comm. Pure Appl. Math., 29 (1976), 557-582. Zbl0343.58003MR55 #9148
  2. [2] W. BLASCHKE, Einführung in die Geometrie der Waben, Birkhäuser, Basel (1955). 
  3. [3] M.J. DIAS CARNEIRO, Singularities of envelopes of families of submanifolds in ℝn, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 4ème série, 16-2 (1983), 173-192. Zbl0525.58008
  4. [4] S.S. CHERN - P. GRIFFITHS, Abel's theorem and webs, J.d. Dt. Math.-Verein, 8 (1978), 13-110. Zbl0386.14002MR80b:53008
  5. [5] J.P. DUFOUR, Familles de courbes planes différentiables, Topology, 22-4 (1983), 449-474. Zbl0521.58012MR84k:58034
  6. [6] J.P. DUFOUR, Couples de fonctions et faux billards, A paraître. Zbl0691.58009
  7. [7] J.P. DUFOUR - P. JEAN, Rigidity of webs and families of hypersurfaces, Singularities & Dynamical systems, Elsevier Science Publishers B.V., North Holland 1985. Zbl0583.57015
  8. [8] M. GOLUBITSKY - V. GUILLEMIN, Stable mappings and their singularities, Graduate Text in Mathematics, Springer Verlag (1973). Zbl0294.58004MR49 #6269
  9. [9] I. NAKAI, Topology of complex webs of codimension one and geometry of projective space curves, Topology, 26-4 (1987), 475-504. Zbl0647.57018MR89b:14010
  10. [10] R. THOM, Sur la théorie des enveloppes, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XLI-2 (1962). Zbl0105.16102MR25 #4454
  11. [11] S.M. VORONIN, Analytic classification of pairs of involutions and its applications, Funct. Anal. and its appl., 16-2 (1982), 94-100. Zbl0521.30010MR83j:58013

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