Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières

Jean-Paul Bézivin

Annales de l'institut Fourier (1990)

  • Volume: 40, Issue: 4, page 785-809
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
A well-known theorem of Pólya asserts that if f ( z ) is an entire function of a complex variable of exponential type less that log 2 and if f ( n ) belongs to ℤ for all rational positive integers n , then f is a polynomial. Gel’fond has shown that if q is a rational integer greater than one, and if f is of slow growth such that f ( q n ) belongs to ℤ for all positive rational integers n then f is a polynomial.In this paper, we study the same kind of questions when the sequences n and q n are replaced by some different linear recurrent sequences.

How to cite

top

Bézivin, Jean-Paul. "Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières." Annales de l'institut Fourier 40.4 (1990): 785-809. <http://eudml.org/doc/74899>.

@article{Bézivin1990,
abstract = {Un théorème bien connu de Pólya montre que si $f(z)$ est une fonction entière d’une variable complexe telle que $f(n)$ appartienne à $\{\Bbb Z\}$ pour tout entier naturel $n$, et de type exponentiel plus petit que $\log 2$, alors $f$ est un polynôme. De même Gel’fond a montré que si $q$ est un entier naturel plus grand que 1, si la croissance de $f$ est assez lente et si $f(q^n)$ appartient à $\{\Bbb Z\}$ pour tout $n$, alors $f$ est un polynôme.Dans cet article, nous étudions le même genre de question quand les suites $n$ et $q^n$ sont remplacées par différentes suites récurrentes linéaires.},
author = {Bézivin, Jean-Paul},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
number = {4},
pages = {785-809},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières},
url = {http://eudml.org/doc/74899},
volume = {40},
year = {1990},
}

TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
TI - Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1990
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 40
IS - 4
SP - 785
EP - 809
AB - Un théorème bien connu de Pólya montre que si $f(z)$ est une fonction entière d’une variable complexe telle que $f(n)$ appartienne à ${\Bbb Z}$ pour tout entier naturel $n$, et de type exponentiel plus petit que $\log 2$, alors $f$ est un polynôme. De même Gel’fond a montré que si $q$ est un entier naturel plus grand que 1, si la croissance de $f$ est assez lente et si $f(q^n)$ appartient à ${\Bbb Z}$ pour tout $n$, alors $f$ est un polynôme.Dans cet article, nous étudions le même genre de question quand les suites $n$ et $q^n$ sont remplacées par différentes suites récurrentes linéaires.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74899
ER -

References

top
  1. [1] Y. AMICE, Les nombres p-adiques, Presses universitaires de France, collections Sup, Paris, 1975. Zbl0313.12104MR56 #5510
  2. [2] A. BAKER, A note on integral-valued functions of several variables, Proc. Cambridge Phil. Soc., 63 (1967), 715-720. Zbl0189.05101MR35 #4168
  3. [3] A. BAZYLEWICZ, Critères de reconnaissabilité de fonctions analytiques et fonctions entières arithmétiques, Acta arith., 51 (1988), 311-319. Zbl0657.10041MR90b:30030
  4. [4] J.-P. BÉZIVIN, Une généralisation à plusieurs variables d'un résultat de Gel'fond, Analysis, 4 (1984), 125-141. Zbl0552.10020MR86f:11053
  5. [5] P. BUNDSCHUH, Arithmetische Eigenschaften ganzer Funktionen mehrerer Variablen, J. für die reine angw. Math., 313 (1980), 116-132. Zbl0411.10009MR81i:10037
  6. [6] A. O. GELFOND, Sur les fonctions entières qui prennent des valeurs entières aux points βn, Mat. Sb., 40 (1933), 42-47. Zbl0007.12102JFM59.1039.01
  7. [7] F. GRAMAIN, Fonctions entières arithmétiques. Séminaire P. Lelong-H. Skoda (Analyse) 1976-1977, Springer LN in Math., n° 694 (1978), 96-125. Zbl0421.32004MR80f:10046
  8. [8] F. GRAMAIN, Fonctions entières d'une ou plusieurs variables complexes prenant des valeurs entières sur une progression géométrique. Cinquante ans de polynômes, Proc. Paris, 1988 (M. Langevin et M. Waldschmidt, éd.), Springer LN in Math., n° 1415 (1990), 123-137. Zbl0709.11038MR91e:11086
  9. [9] N. HIRATA, Indépendance linéaire de fonctions arithmétiques et presque arithmétiques, Public Univ. P. et M. Curie, n° 79, exposé 4, 1985-1986. Zbl0577.10033
  10. [10] C. PISOT, Sur les fonctions arithmétiques à croissance exponentielle, CRAS, 222 (1946), 988-990. Zbl0060.21501MR8,23d
  11. [11] C. PISOT, Über ganzwertige ganze Funktionen, Jahrber Deutsche Math. Verein, 52 (1942), 95-102. Zbl0027.05502MR4,270cJFM68.0162.02
  12. [12] C. PISOT, Sur les fonctions arithmétiques et presque arithmétiques, CRAS, 222 (1946), 1027-1028. Zbl0060.21502MR8,23e
  13. [13] G. POLYA, Über ganzwertige ganze Funktionen, Rend. circ. Math. Palermo, 40 (1915), 1-16. JFM45.0655.02
  14. [14] R. ROBINSON, Integer-valued entire functions, Trans. Amer. Math. Soc., 153 (1971), 451-468. Zbl0212.42201MR43 #522
  15. [15] G. VALIRON, General theory of integral functions, Chelsea publ. comp., New York, 1949. 
  16. [16] R. WALLISSER, On entire functions assuming integer values in a geometric sequence. Théorie des nombres, C.R. Conf. Internat. Univ. Laval, 1987 (J. M. de Koninck et C. Levesque, éd.) de Gruyter, (1989), 981-989. Zbl0684.10031MR90j:11067

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.