Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système 2 × 2 semi-linéaire

B. Nadir; Jean-Pierre Varenne

Annales de l'institut Fourier (1990)

  • Volume: 40, Issue: 4, page 849-866
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We consider a first order semilinear two by two system in an open set of ℝ n , a non-characteristic hypersurface S and an hypersurface Γ of S . We suppose that through Γ , there are exactly two characteristic transversal hypersurfaces Σ 1 , Σ 2 and that the bicharacteristics on Σ 1 , Σ 2 are transversal to Γ . We suppose that u is a solution in Ω , one of the two half-spaces delimited by S and that u is the restriction of Ω to a piecewise conormal distribution relatively to Σ 1 , Σ 2 . For the Cauchy problem, we show that if the trace of u on S is classical relatively to Γ , so u is classical relatively to Σ 1 and Σ 2 . For the boundary value hyperbolic problem with boundary condition on S , satisfying uniform Lopatinski condition, we show that if the boundary condition is classical relatively to Γ and if u is classical relatively to Σ 1 , supposed outgoing, then u is classical relatively to the reflected hypersurface Σ 2 .

How to cite

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Nadir, B., and Varenne, Jean-Pierre. "Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système $2\times 2$ semi-linéaire." Annales de l'institut Fourier 40.4 (1990): 849-866. <http://eudml.org/doc/74902>.

@article{Nadir1990,
abstract = {On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de $\{\Bbb R\}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma $ de $S$. On suppose que, par $\Gamma $, passent deux hypersurfaces caractéristiques $\Sigma _1$, $\Sigma _2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur $\Sigma _1$, $\Sigma _2$ sont transverses à $\Gamma $. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega $ délimitée par $\sigma $. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega $ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma $, alors $u$ est classique par rapport à $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma $, alors $u$ est classique par rapport $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème aux limites hyperbolique à données au bord sur $S$ vérifiant la condition de Lopatinski uniforme, on montre que si cette donnée est classique par rapport à $\Gamma $ et si $u$ est classique par rapport à $\Sigma _1$, supposée sortante, alors $u$ est classique par rapport à l’hypersurface (réfléchie) $\Sigma _2$.},
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ER -

References

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