On considère le problème de Dirichlet : $$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$ et $$u{|}_{\partial B}=\varphi$$ où $B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^n.$ Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\varphi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

Nous montrons principalement que, si $f\ge 0$ est une fonction différentiable sur un intervalle $[0,T]$, si sa dérivée est höldérienne d’ordre $\alpha$ avec $0\<\alpha \le 1$ et si $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$ (resp. $f^{\text{'}}\left(T\right)=0)$ quand $f\left(0\right)=0$ (resp. $f\left(T\right)=0)$ alors $f^{1/(1+\alpha )}$, qui est absolument continue, admet (presque partout) une dérivée bornée presque partout.

On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type $$\{\begin{array}{ccc}\dot{x}\hfill & =& f(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \dot{y}\hfill & =& g(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \epsilon \dot{z}\hfill & =& h(x,y,z,\epsilon ),\hfill \end{array}$$ où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées,...

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement de $\alpha$ en fraction continue. Dans un article paru aux Annales de l’Institut Fourier (31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin et Toffin montrent que, lorsque $x$ ou $y$ est irrationnel, la suite $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ est équirépartie modulo 1. On précise ici que l’équirépartition est uniforme.

Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme $$y^{\text{'}\text{'}}+y^{\text{'}}p(x,y,y^{\text{'}})+q(x)\frac{da\left(y\right)}{dy}=f\left(y\right),$$ la solution définie par les conditions initiales $x=x_0$, $y=y_0$, $y^{\text{'}}=0$. Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions $p,q,a,f$, l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour $x=x_0$, reste supérieure à ce minimum pour $x\>x_0$ et que, dans ces mêmes conditions, $\left|y\right|$ et $\left|y^{\text{'}}\right|$ restent bornés. Enfin, lorsque $p$ a une borne inférieure positive, $y^{\text{'}}$ tend vers zéro avec...