Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier

Daniel Lehmann

Annales de l'institut Fourier (1991)

  • Volume: 41, Issue: 1, page 211-258
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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A residue formula is shown for higher dimensional characteristic classes of the normal bundle to some smooth submanifold V of a manifold W , invariant with respect to some foliation with singularities on W .In particular, in the complex analytical case, and for foliations with complex dimension 1 of the leaves, the Chern numbers of the normal bundle to the submanifold V are computed in terms of residues of Grothendieck, by mean of a formula which generalizes to the case of arbitrary complex dimensions, p for V and p + q for W , the residues of Camacho-Sad corresponding to the case p = q = 1 . In fact, a more general formula is proved, which covers also the Baum-Bott residues for the Chern numbers of an holomorphic manifold with an holomorphic vector field having only isolated singularities.Various examples are computed in the case where V is the exceptional divisor for the blowing-up of a germ of vector field near a singular point.

How to cite

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Lehmann, Daniel. "Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier." Annales de l'institut Fourier 41.1 (1991): 211-258. <http://eudml.org/doc/74915>.

@article{Lehmann1991,
abstract = {Une formule de résidus est demontrée pour les classes caractéristiques de degré suffisamment grand du fibré normal à une sous variété lisse $V$ d’une variété $W$, invariante relativement à un feuilletage avec singularités dans $W$. En particulier, dans le cas analytique complexe, et pour les feuilletages dont les feuilles sont de dimension complexe 1, les nombres de Chern du fibre normal à la sous-variété $V$ sont calculés en termes de résidus de Grothendieck, par une formule qui généralise au cas de dimensions complexes arbitraires, $p$ pour $V$ et $p+q$ pour $W$, les résidus de Camacho-Sad correspondant au cas $p=q=1$. En fait, une formule plus générale est demontrée, qui coiffe aussi celle des résidus de Baum-Bott pour les nombres de Chern d’une variété holomorphe munie d’un champ de vecteurs holomorphe à singularités isolées. Divers exemples sont calculés, lorsque $V$ est le diviseur exceptionnel de l’éclatement d’un germe de champ de vecteurs au voisinage d’un point singulier.},
author = {Lehmann, Daniel},
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TY - JOUR
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
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References

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  1. [AE] C.B. ALLENDOERFER et J. EELLS JR., On the cohomology of smooth manifolds, Comment. Math. Helvet., 32 (1957), 165-176. Zbl0084.39203
  2. [B1] R. ROTT, Lectures on characteristic classes and foliations, Springer Lecture Notes, 279 (1972). Zbl0241.57010MR50 #14777
  3. [B2] R. BOTT, A residue formula for holomorphic vector field, J. of Diff. Geom., vol. 1, fasc. 4 (1967), 311-330. Zbl0179.28801MR38 #730
  4. [BB1] P. BAUM et R. BOTT, On the zeroes of meromorphic vector fields, Essays on Topology and Related Topics, Mémoires dédiés à G. de Rham, Springer (1970), 29-47. Zbl0193.52201MR41 #6248
  5. [BB2] P. BAUM et R. BOTT, Singularities of holomorphic foliations, Jal. of Diff. Geom., vol. 7 (1972), 279-342. Zbl0268.57011MR51 #14092
  6. [BT] R. BOTT et W. TU, Differential forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer (1982). Zbl0496.55001MR83i:57016
  7. [C] B. CENKL, Zeroes of vectorfields and characteristic numbers, J. of Diff. Geom., vol. 8, fasc. 1 (1973), 25-46. Zbl0288.58006MR50 #14776
  8. [CS] C. CAMACHO et P. SAD, Invariant varieties through singularities of holomorphic vectorfields, Annals of Maths, 115 (1982), 579-595. Zbl0503.32007MR83m:58062
  9. [D] P. DOLBEAULT et J. POLY, Differential forms with subanalytic singularities; integral cohomology; residues, Proceedings of symposia in Pure Mathematics, vol. 30 (1977), 255-261. Zbl0354.32016MR56 #15974
  10. [GB] GMIRA BOUCHRA, Une généralisation d'un théorème de C. Camacho et P. Sad relatif aux feuilletages holomorphes singuliers, Thèse de 3ème cycle, Lille, 1984. 
  11. [H] J. HEITSCH, Independent variation of secondary characteristic classes, Annals of Maths, 108 (1978), 421-460. Zbl0398.57007MR80b:57022
  12. [KT] F. KAMBER et P. TONDEUR, Characteristic classes for foliated bundles, Springer Lecture Notes, 493 (1975). Zbl0308.57011MR53 #6587
  13. [L1] D. LEHMANN, Classes caractéristiques résiduelles, Differential Geometry and its applications, Proc. Conf. Aug. 27-Sep. 2 1989, Brno (Tchecoslovaquie), World Scientific edit. (1989). Zbl0793.57017
  14. [L2] D. LEHMANN, Variétés stratifiées C∞, intégration de Čech-de Rham et théorie de Chern-Weil, Geometry and Topology of submanifolds II, Proc. Conf. 30 may-3 june 1988, Avignon (Fr), World Scientific edit. (1990). Zbl0731.57012
  15. [L3] D. LEHMANN, Intégration sur les variétés stratifiées, Théorème de Gauss-Bonnet sur les variétés stratifiées, C.R. Acad. Sc. Paris, 307, ser. I (1988), 603-606, 671-673. Zbl0657.57009MR89k:58017
  16. [LN1] A. LINS NETO, Complex codimension one foliations leaving a compact submanifold invariant, Dynamical systems and bifurcation theory (Rio de Janeiro 1985), 295-317, Pitman Res. Notes Math. Ser. 160, Longman Sci. Tech. Harlow (1987). Zbl0647.57017
  17. [LN2] A. LINS NETO, Algebraic solutions of polynomial differential equations and foliations in dimension two, Springer Lecture Notes 1345 (1986), Conference on holomorphic dynamics, Mexico, 192-232. Zbl0677.58036MR90c:58142
  18. [PW] P.A. SCHWEITZER et A.P. WHITMAN, Pontryagin polynomial residues of isolated foliation singularities, Differential Topology, Springer Lecture Notes 652 (1978), 95-103. Zbl0409.57029MR80a:57015

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