Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible

Serre, Denis. "Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible." Annales de l'institut Fourier 47.1 (1997): 139-153. <http://eudml.org/doc/75224>.

@article{Serre1997,
abstract = {Soit $\rho $, $u$, $e$, $S$ et $p$ les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori$\{\Bbb R\}^d$ tout entier, mais $\rho $ peut être nul en dehors d’un compact $K(t)$. On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, $p=(\gamma -1)\rho e$, où $\gamma \in [1,1+2/d]$ est une constante. Le cas $\gamma =1+2/d$ est celui du gaz mono-atomique.Dans la limite $\rho \rightarrow 0$, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à $v_t+(v\cdot \nabla )v=0$. Si de plus $v(0,x)=A_0x$, où $A_0\in M_d(\{\Bbb R\})$ n’a pas de valeur propre réelle négative, $v$ est défini pour tout $t\ge 0 : v(t,x)=A(t)x$, ce qu’on note $u_\{A(t)\}$.On montre ici que, pour une condition initiale $\rho _0$, $u_0$, $S_0$ telle que $\rho _0^\{(\gamma -1)/2\}$, $u_0-u_\{A_0\}$, $S_0-\bar\{S\}$ ($\bar\{S\}$ étant une constante) soient petits dans $H^m(\{\Bbb R\}^d)$ ($m&gt;1+d/2$), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout $t\ge 0$. Si de plus $A_0$ n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, $d$ est pair), l’existence a lieu pour tout $t\in \{\Bbb R\}$. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.},
author = {Serre, Denis},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {gas dynamics; nonlinear hyperbolic equations},
language = {fre},
number = {1},
pages = {139-153},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible},
url = {http://eudml.org/doc/75224},
volume = {47},
year = {1997},
}

TY - JOUR
AU - Serre, Denis
TI - Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1997
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 47
IS - 1
SP - 139
EP - 153
AB - Soit $\rho $, $u$, $e$, $S$ et $p$ les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori${\Bbb R}^d$ tout entier, mais $\rho $ peut être nul en dehors d’un compact $K(t)$. On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, $p=(\gamma -1)\rho e$, où $\gamma \in [1,1+2/d]$ est une constante. Le cas $\gamma =1+2/d$ est celui du gaz mono-atomique.Dans la limite $\rho \rightarrow 0$, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à $v_t+(v\cdot \nabla )v=0$. Si de plus $v(0,x)=A_0x$, où $A_0\in M_d({\Bbb R})$ n’a pas de valeur propre réelle négative, $v$ est défini pour tout $t\ge 0 : v(t,x)=A(t)x$, ce qu’on note $u_{A(t)}$.On montre ici que, pour une condition initiale $\rho _0$, $u_0$, $S_0$ telle que $\rho _0^{(\gamma -1)/2}$, $u_0-u_{A_0}$, $S_0-\bar{S}$ ($\bar{S}$ étant une constante) soient petits dans $H^m({\Bbb R}^d)$ ($m&gt;1+d/2$), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout $t\ge 0$. Si de plus $A_0$ n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, $d$ est pair), l’existence a lieu pour tout $t\in {\Bbb R}$. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.
LA - fre
KW - gas dynamics; nonlinear hyperbolic equations
UR - http://eudml.org/doc/75224
ER -