Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle

Michel Langevin

Annales de l'institut Fourier (1997)

  • Volume: 47, Issue: 1, page 1-48
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We study the affine structure of a subset generating all the solutions of the functional equation where is any commutative field and belongs to (by combinatorial means, one must assume indeed to get non-trivial solutions). The elements of this subset are the formal power series where the sequence satisfies: and Let define an application in by and let d be the standard derivation. By using these notations, the classical Taylor’s formula can be written: . We shall show that there is a canonical bijection between and the set of endomorphisms of the -space which commute with or d and s.t. . More precisely, for such a , there exists s.t. (reciprocally, this is a “Taylor’s formula” which characterizes or ). The set of these endomorphisms is the orbit under the operation of the group GSF (the group of series with and which are invertible for the composition of the formal power series) on defined by (and ). From several independent lemmas on linear algebra and combinatorial analysis, one get new developments in various domains: heights in several variables, geometry of polynomials ...

How to cite

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Langevin, Michel. "Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle." Annales de l'institut Fourier 47.1 (1997): 1-48. <http://eudml.org/doc/75226>.

@article{Langevin1997,
abstract = {Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K[[X,T]]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ conduit naturellement à étudier l’application $U(T)\rightarrow (U(T))^X$, $U(T)$ étant une unité de l’algèbre $K[[T]]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)T^n$, $(H_n(X))$ étant une suite de $K[X]$ vérifiant les “identités multinomiales” :\begin\{\}(\mu )\qquad H\_n(X\_1+\ldots \{\}+ X\_k)=\sum \_\{\alpha \_1+\ldots \{\}+\alpha \_k=n\}H\_\{\alpha \_1\}(X\_1)\ldots \{\} H\_\{\alpha \_k\} (X\_k)\quad (n,k\ge 0).\end\{\}Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$(K)&gt;0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $(\mu )$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ formé des éléments tels que $H_0=1,\;H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.Soit $\gamma $ (resp. d) l’application définie sur $K[X]$ par $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma =\{\rm exp\}(Y\{\rm d\})$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K[X]$ commutant avec d ou $\gamma $ (modulo l’extension des scalaires à $K[Y]$) et vérifiant $f(1)=0,\; f(X)=1$, est canoniquement en bijection avec $\{\rm NW\}^\{\prime \}$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $(H_n)$ appartenant à $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ et pour laquelle $\gamma =\sum \limits _\{n\ge 0\} H_n(Y)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $(H_n)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$(K)$ des éléments de $K[[T]]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$(K)$ sur $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ définie par :$\big (B,\sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)(B^\{-1\}(T))^n=\sum \limits _\{n\ge 0\}K_n(X)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.},
author = {Langevin, Michel},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {exponential; formal power series; generating functions; Taylor's formula; Jordan canonical form; partitions; binomial coefficients; combinatorial algorithmic analysis; heights of polynomials; geometry of polynomials; affine structure; functional equation},
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AB - Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K[[X,T]]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ conduit naturellement à étudier l’application $U(T)\rightarrow (U(T))^X$, $U(T)$ étant une unité de l’algèbre $K[[T]]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n$, $(H_n(X))$ étant une suite de $K[X]$ vérifiant les “identités multinomiales” :\begin{}(\mu )\qquad H_n(X_1+\ldots {}+ X_k)=\sum _{\alpha _1+\ldots {}+\alpha _k=n}H_{\alpha _1}(X_1)\ldots {} H_{\alpha _k} (X_k)\quad (n,k\ge 0).\end{}Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$(K)&gt;0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $(\mu )$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble ${\rm NW}^{\prime }$ formé des éléments tels que $H_0=1,\;H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.Soit $\gamma $ (resp. d) l’application définie sur $K[X]$ par $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma ={\rm exp}(Y{\rm d})$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K[X]$ commutant avec d ou $\gamma $ (modulo l’extension des scalaires à $K[Y]$) et vérifiant $f(1)=0,\; f(X)=1$, est canoniquement en bijection avec ${\rm NW}^{\prime }$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $(H_n)$ appartenant à ${\rm NW}^{\prime }$ et pour laquelle $\gamma =\sum \limits _{n\ge 0} H_n(Y)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $(H_n)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$(K)$ des éléments de $K[[T]]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître ${\rm NW}^{\prime }$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$(K)$ sur ${\rm NW}^{\prime }$ définie par :$\big (B,\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)(B^{-1}(T))^n=\sum \limits _{n\ge 0}K_n(X)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.
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KW - exponential; formal power series; generating functions; Taylor's formula; Jordan canonical form; partitions; binomial coefficients; combinatorial algorithmic analysis; heights of polynomials; geometry of polynomials; affine structure; functional equation
UR - http://eudml.org/doc/75226
ER -

References

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