Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle

Langevin, Michel. "Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle." Annales de l'institut Fourier 47.1 (1997): 1-48. <http://eudml.org/doc/75226>.

@article{Langevin1997,
abstract = {Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K[[X,T]]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ conduit naturellement à étudier l’application $U(T)\rightarrow (U(T))^X$, $U(T)$ étant une unité de l’algèbre $K[[T]]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)T^n$, $(H_n(X))$ étant une suite de $K[X]$ vérifiant les “identités multinomiales” :\begin\{\}(\mu )\qquad H\_n(X\_1+\ldots \{\}+ X\_k)=\sum \_\{\alpha \_1+\ldots \{\}+\alpha \_k=n\}H\_\{\alpha \_1\}(X\_1)\ldots \{\} H\_\{\alpha \_k\} (X\_k)\quad (n,k\ge 0).\end\{\}Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$(K)&gt;0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $(\mu )$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ formé des éléments tels que $H_0=1,\;H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.Soit $\gamma $ (resp. d) l’application définie sur $K[X]$ par $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma =\{\rm exp\}(Y\{\rm d\})$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K[X]$ commutant avec d ou $\gamma $ (modulo l’extension des scalaires à $K[Y]$) et vérifiant $f(1)=0,\; f(X)=1$, est canoniquement en bijection avec $\{\rm NW\}^\{\prime \}$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $(H_n)$ appartenant à $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ et pour laquelle $\gamma =\sum \limits _\{n\ge 0\} H_n(Y)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $(H_n)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$(K)$ des éléments de $K[[T]]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$(K)$ sur $\{\rm NW\}^\{\prime \}$ définie par :$\big (B,\sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _\{n\ge 0\}H_n(X)(B^\{-1\}(T))^n=\sum \limits _\{n\ge 0\}K_n(X)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.},
author = {Langevin, Michel},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {exponential; formal power series; generating functions; Taylor's formula; Jordan canonical form; partitions; binomial coefficients; combinatorial algorithmic analysis; heights of polynomials; geometry of polynomials; affine structure; functional equation},
language = {fre},
number = {1},
pages = {1-48},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle},
url = {http://eudml.org/doc/75226},
volume = {47},
year = {1997},
}

TY - JOUR
AU - Langevin, Michel
TI - Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1997
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 47
IS - 1
SP - 1
EP - 48
AB - Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K[[X,T]]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ conduit naturellement à étudier l’application $U(T)\rightarrow (U(T))^X$, $U(T)$ étant une unité de l’algèbre $K[[T]]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n$, $(H_n(X))$ étant une suite de $K[X]$ vérifiant les “identités multinomiales” :\begin{}(\mu )\qquad H_n(X_1+\ldots {}+ X_k)=\sum _{\alpha _1+\ldots {}+\alpha _k=n}H_{\alpha _1}(X_1)\ldots {} H_{\alpha _k} (X_k)\quad (n,k\ge 0).\end{}Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$(K)&gt;0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $(\mu )$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble ${\rm NW}^{\prime }$ formé des éléments tels que $H_0=1,\;H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.Soit $\gamma $ (resp. d) l’application définie sur $K[X]$ par $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma ={\rm exp}(Y{\rm d})$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K[X]$ commutant avec d ou $\gamma $ (modulo l’extension des scalaires à $K[Y]$) et vérifiant $f(1)=0,\; f(X)=1$, est canoniquement en bijection avec ${\rm NW}^{\prime }$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $(H_n)$ appartenant à ${\rm NW}^{\prime }$ et pour laquelle $\gamma =\sum \limits _{n\ge 0} H_n(Y)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $(H_n)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$(K)$ des éléments de $K[[T]]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître ${\rm NW}^{\prime }$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$(K)$ sur ${\rm NW}^{\prime }$ définie par :$\big (B,\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)(B^{-1}(T))^n=\sum \limits _{n\ge 0}K_n(X)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.
LA - fre
KW - exponential; formal power series; generating functions; Taylor's formula; Jordan canonical form; partitions; binomial coefficients; combinatorial algorithmic analysis; heights of polynomials; geometry of polynomials; affine structure; functional equation
UR - http://eudml.org/doc/75226
ER -