Solutions entières d'un système d'équations aux différences

Jean-Paul Bézivin; François Gramain

Annales de l'institut Fourier (1993)

  • Volume: 43, Issue: 3, page 791-814
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
In answer to a question of D.W. Masser, we prove that, for almost all systems of difference equations 0 m M A m ( z ) f ( z + α m ) = 0 n N B n ( z ) f ( z + β n ) = 0 , where A m and B n are polynomials and α , β * are - linearly independant, any solution f which is an entire function is the quotient of an exponential polynomial by a polynomial. We give a similar result when the second relation is replaced by a differential equation 0 n N B n ( z ) f ( n ) ( z ) = 0 .

How to cite

top

Bézivin, Jean-Paul, and Gramain, François. "Solutions entières d'un système d'équations aux différences." Annales de l'institut Fourier 43.3 (1993): 791-814. <http://eudml.org/doc/75020>.

@article{Bézivin1993,
abstract = {En réponse à une question de D.W. Masser, nous démontrons que, pour presque tout système d’équations aux différences\begin\{\}\sum \_\{0 \le m \le M\} A\_m (z) f(z+\alpha m) = \sum \_\{0 \le n \le N\} B\_n(z) f(z+ \beta n)=0,\end\{\}où les $A_m$ et les $B_n$ sont des polynômes non tous nuls et $\alpha , \beta \in \{\Bbb C\}^*$ sont $\{\Bbb R\}$-linéairement indépendants, toute solution $f$ qui est une fonction entière est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Nous avons un résultat semblable quand la deuxième équation est remplacée par une équation différentielle $\sum _\{0 \le n \le N\} B_n (z)f^\{(n)\} (z)=0$.},
author = {Bézivin, Jean-Paul, Gramain, François},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {entire solutions; systems of difference equations},
language = {fre},
number = {3},
pages = {791-814},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Solutions entières d'un système d'équations aux différences},
url = {http://eudml.org/doc/75020},
volume = {43},
year = {1993},
}

TY - JOUR
AU - Bézivin, Jean-Paul
AU - Gramain, François
TI - Solutions entières d'un système d'équations aux différences
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1993
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 43
IS - 3
SP - 791
EP - 814
AB - En réponse à une question de D.W. Masser, nous démontrons que, pour presque tout système d’équations aux différences\begin{}\sum _{0 \le m \le M} A_m (z) f(z+\alpha m) = \sum _{0 \le n \le N} B_n(z) f(z+ \beta n)=0,\end{}où les $A_m$ et les $B_n$ sont des polynômes non tous nuls et $\alpha , \beta \in {\Bbb C}^*$ sont ${\Bbb R}$-linéairement indépendants, toute solution $f$ qui est une fonction entière est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Nous avons un résultat semblable quand la deuxième équation est remplacée par une équation différentielle $\sum _{0 \le n \le N} B_n (z)f^{(n)} (z)=0$.
LA - fre
KW - entire solutions; systems of difference equations
UR - http://eudml.org/doc/75020
ER -

References

top
  1. [BÉBO] J.-P. BÉZIVIN et A. BOUTABAA, Sur les équations fonctionnelles p-adiques aux q-différences, preprint. Zbl0778.39009
  2. [BOA] R.P. BOAS Jr., Entire functions, Academic Press, New-York, 1954. Zbl0058.30201
  3. [GEL1] A.O. GEL'FOND, Linear differential equations of infinite order with constant coefficients and asymptotic periods of entire functions, Amer. Math. Soc. Translation, 84 (1953). 
  4. [GEL2] A.O. GEL'FOND, Calcul des différences finies, Dunod, Paris, 1963. Zbl0108.27503MR28 #376
  5. [GRA1] F. GRAMAIN, Fonctions entières d'une ou plusieurs variables complexes prenant des valeurs entières sur une progression géométrique. Cinquante ans de polynômes. M. Langevin et M. Waldschmidt eds, Lecture Notes in Math., 1415 (1990), 123-137, Springer-Verlag, Berlin. Zbl0709.11038MR91e:11086
  6. [GRA2] F. GRAMAIN, Equations aux différences et polynômes exponentiels, C. R. Acad. Sciences Paris, 313 (1991), 131-134. Zbl0736.30020MR92h:30057
  7. [KETA] J. KELLEHER and B.A. TAYLOR, An application of the corona theorem to some rings of entire functions, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 246-249. Zbl0154.15003MR34 #6096
  8. [MAS] D.W. MASSER, On certain functional equations in several variables. Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy 1982, D. Bertrand et M. Waldschmidt eds, Progress in Math. 31, 1983, 173-190. Birkhäuser, Boston. Zbl0549.32002MR85e:11049
  9. [PÓL] G. PÓLYA, Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen, Math. Zeit., 29 (1929), 549-640. JFM55.0186.02
  10. [RAM] J.-P. RAMIS, About the growth of entire functions solutions of linear algebraic q-difference equations, Ann. Fac. Sci. Toulouse (à paraître). Zbl0796.39005
  11. [WAL] R. WALLISSER, Verallgemeinerte ganze ganzwertige Funktionen vom Exponentialtypus, J. reine angew. Math., 235 (1969), 189-206. Zbl0183.07301MR39 #5797
  12. [ZEI] D. ZEILBERGER, A holonomic systems approach to special functions identities, J. Comp. Appl. Math., 32 (1990), 321-368. Zbl0738.33001MR92b:33014

Citations in EuDML Documents

top
  1. Yarakamé Souleymane Daniogo, Solutions indéfiniment différentiables d’un système d’équations aux différences et application aux systèmes d’équations aux dérivées partielles
  2. Michel Langevin, Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle
  3. Jean-Paul Bézivin, François Gramain, Solutions entières d'un système d'équations aux différences. II
  4. Nicolas Brisebarre, Laurent Habsieger, Sur les fonctions entières à double pas récurrent
  5. Nicolas Marteau, Équations aux différences associées à des groupes, fonctions représentatives.
  6. Nicolas Marteau, Sur les équations aux différences en une variable
  7. Jean-Claude Jolly, Solutions méromorphes sur d’un système d’équations aux différences à coefficients constants et à deux pas récurrents

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.