Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses

Alberto Arabia

Annales de l'institut Fourier (1998)

  • Volume: 48, Issue: 3, page 861-912
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
In this paper we consider complex algebraic varieties endowed with an action of a torus T and we define the T -equivariant Euler class for any, smooth or not, isolated fixed point x ∈ X T . This class is a rational fraction on a finite number of variables and when x is a rationally smooth point of X , it is a polynomial function canonically identified to the usual equivariant Euler class. We give sufficient conditions for an isolated fixed point of X having a polynomial equivariant Euler class to be smooth or rationally smooth. Finally, we apply these ideas to prove a rational smoothness criterion for the points of a Schubert variety.

How to cite

top

Arabia, Alberto. "Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses." Annales de l'institut Fourier 48.3 (1998): 861-912. <http://eudml.org/doc/75306>.

@article{Arabia1998,
abstract = {Lorsqu’un tore $\{\bf T\}$ agit sur une variété algébrique complexe $\{\bf X\}$ munie de la topologie transcendante, nous définissons la classe d’Euler $\{\bf T\}$-équivariante d’un point fixe isolé $x\in \{\bf X\}^\{\{\bf T\}\}$, qu’il soit lisse ou non. Cette classe est une fraction rationnelle à un nombre fini de variables et lorsque $x$ est rationnellement lisse dans $\{\bf X\}$, c’est un polynôme qui s’identifie canoniquement à la classe d’Euler équivariante usuelle, mais, réciproquement, lorsque la classe d’Euler équivariante est polynomiale, il n’est pas toujours vrai que le point soit rationnellement lisse. Nous donnons dans cet article des conditions suffisantes permettant d’affirmer, pour un point fixe isolé de $\{\bf X\}$, l’équivalence entre “être rationnellement lisse dans $\{\bf X\}$” et “avoir une classe d’Euler équivariante polynomiale”. Comme application de ces idées, nous démontrons un critère de lissité rationnelle pour les points d’une variété de Schubert.},
author = {Arabia, Alberto},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {pseudomanifold; equivariant cohomology; equivariant Thom-Gysin morphism; rational smoothness; singularity; Schubert variety; action of a torus; equivariant Euler class},
language = {fre},
number = {3},
pages = {861-912},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses},
url = {http://eudml.org/doc/75306},
volume = {48},
year = {1998},
}

TY - JOUR
AU - Arabia, Alberto
TI - Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1998
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 48
IS - 3
SP - 861
EP - 912
AB - Lorsqu’un tore ${\bf T}$ agit sur une variété algébrique complexe ${\bf X}$ munie de la topologie transcendante, nous définissons la classe d’Euler ${\bf T}$-équivariante d’un point fixe isolé $x\in {\bf X}^{{\bf T}}$, qu’il soit lisse ou non. Cette classe est une fraction rationnelle à un nombre fini de variables et lorsque $x$ est rationnellement lisse dans ${\bf X}$, c’est un polynôme qui s’identifie canoniquement à la classe d’Euler équivariante usuelle, mais, réciproquement, lorsque la classe d’Euler équivariante est polynomiale, il n’est pas toujours vrai que le point soit rationnellement lisse. Nous donnons dans cet article des conditions suffisantes permettant d’affirmer, pour un point fixe isolé de ${\bf X}$, l’équivalence entre “être rationnellement lisse dans ${\bf X}$” et “avoir une classe d’Euler équivariante polynomiale”. Comme application de ces idées, nous démontrons un critère de lissité rationnelle pour les points d’une variété de Schubert.
LA - fre
KW - pseudomanifold; equivariant cohomology; equivariant Thom-Gysin morphism; rational smoothness; singularity; Schubert variety; action of a torus; equivariant Euler class
UR - http://eudml.org/doc/75306
ER -

References

top
  1. [A1] A. ARABIA, Cycles de Schubert et cohomologie équivariante de K/T, Inventiones Mathematicae, 85 (1986), 39-52. Zbl0624.22005MR87g:32036
  2. [A2] A. ARABIA, Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kač-Moody, Bull. Soc. Math. France, 117 (1989), 129-165. Zbl0706.57024MR90i:32042
  3. [AB] M.F. ATIYAH, R. BOTT, The moment map and equivariant cohomology, Topology, 23, n° 1 (1984), 1-28. Zbl0521.58025MR85e:58041
  4. [AP] C. ALLDAY, V. PUPPE, Cohomological Methods in Transformation Groups, Cambridge studies in advanced mathematics 32, Cambridge University Press (1993). Zbl0799.55001MR94g:55009
  5. [Bo] A. BOREL et al, Intersection Cohomology, Progress in Mathematics 50, Birkhäuser (1984). Zbl0553.14002MR788176
  6. [Bri] M. BRION, Equivariant Chow groups for torus actions, Birkhäuser, Transformation groups, Vol 2, n° 3 (1997), 1-43. Zbl0916.14003
  7. [Bry] J.-L. BRYLINSKI, Equivariant intersection cohomology, Collection : Kazhdan-Lusztig theory and related topics (Chicago, IL, 1989), 5-32. Series : Contemp. Math., 139, American Mathematical Society, (1992). Zbl0803.55002MR94c:55010
  8. [C] J.B. CARRELL, The Bruhat graph of a Coxeter group, a conjecture of Deodhar, and rational smoothness of Schubert varieties, Algebraic groups and their generalizations : classical methods. University Park, PA, (1991), 53-61, Proc. Sympos. Pure Math., 56 (1994), Part 1. Zbl0818.14020MR95d:14051
  9. [Dem] M. DEMAZURE, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., (4) 7 (1974), 53-88. Zbl0312.14009MR50 #7174
  10. [Deo] V. DEODHAR, Local Poincaré duality and non-singularity of Schubert varieties, Communications in Algebra, 13 (1986), 1379-1388. Zbl0579.14046MR86i:14015
  11. [Dy] M.J. DYER, The nil-Hecke ring and Deodhar's conjecture on Bruhat intervals, Inventiones Mathematicae, 111 (1993), 571-574. Zbl0813.20043MR94c:20073
  12. [EGA] A. GROTHENDIECK, Eléments de géométrie algébrique III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents (première partie), Publications Mathématiques de l'I.H.E.S., n° 11 (1961). 
  13. [GM] M. GORESKY, R. MACPHERSON, Intersection homology II, Inventiones Mathematicae, 71 (1983), 77-129. Zbl0529.55007MR84i:57012
  14. [Ha] H.C. HANSEN, On cycles in flag manifolds, Math. Scand., 33 (1970), 269-274. Zbl0301.14019MR51 #12878
  15. [Hs] W.Y. HSIANG, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebeite. Band, 85, Springer-Verlag (1970). Zbl0243.57015MR54 #11363
  16. [KaL1] D. KAZHDAN, G. LUSZTIG, Representations of Coxeter Groups and Hecke Algebras, Inventiones Mathematicae, 53 (1979), 165-184. Zbl0499.20035MR81j:20066
  17. [KaL2] D. KAZHDAN, G. LUSZTIG, Schubert varieties and Poincaré duality, Proc. Sympos. Pure Math., A.M.S., 36 (1980), 185-203. Zbl0461.14015MR84g:14054
  18. [KuKo] B. KOSTANT, S. KUMAR, The nil-Hecke ring and cohomology of G/P for a Kač-Moody group G, Advances in Math., 62 (1986), 187-237. Zbl0641.17008MR88b:17025b
  19. [Ku0] S. KUMAR, A connexion of equivariant K-theory with the singularity of Schubert varieties, prépublication (1986-1987). 
  20. [Ku1] S. KUMAR, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, in “Lie Theory and geometry (in honor of Bertram Kostant)”, Progress in Math., 123, Birkhäuser, 497-507 (1994). Zbl0856.14017MR97a:14052
  21. [Ku2] S. KUMAR, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, Inventiones Mathematicae, 123, n° 3 (1996), 471-506. Zbl0863.14031MR97j:14057
  22. [M] J. MCCLEARYUser's guide to spectral sequences, Publish or Perish, Mathematical lecture series 12 (1985). Zbl0577.55001MR87f:55014
  23. [L] D. LUNA, Slices étales, Bulletin Soc. Math. France, Mémoire 33 (1973), 81-105. Zbl0286.14014MR49 #7269
  24. [Ma] H. MATSUMURA, Commutative algebra, Benjamin, New York, 1970. Zbl0211.06501MR42 #1813
  25. [Mi] J. MILNOR, Construction of universal bundles. I, II, Ann. of Math., (2) 63 (1956), 272-284, 430-436. Zbl0071.17302MR17,994b
  26. [P] P. POLO, On Zariski tangent spaces of Schubert varieties, and a proof of a conjecture of Deodhar, Indagationes Mathematicae, New-Series 5, n° 4 (1994), 483-493. Zbl0833.20050MR96a:20059
  27. [Q] D. QUILLEN, The spectrum of an equivariant cohomology ring I, II, Ann. of Math., (2) 94 (1971), 549-572, 573-602. Zbl0247.57013MR45 #7743
  28. [R] W. ROSSMANN, Equivariant multiplicities on complex varieties, in “Orbites unipotentes et representations, III”, Astérisque, n° 173-174 (1989), 313-330. Zbl0691.32004MR91g:32042

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.