Solutions globales $(-\infty \<t\<+\infty )$ des systèmes paraboliques de lois de conservation

Serre, Denis. "Solutions globales $(-\infty &lt;t&lt;+\infty )$ des systèmes paraboliques de lois de conservation." Annales de l'institut Fourier 48.4 (1998): 1069-1091. <http://eudml.org/doc/75309>.

@article{Serre1998,
abstract = {Nous considérons ici des solutions particulières des systèmes paraboliques de lois de conservation dans le domaine $x&gt;0$ ou bien pour $x\in \{\Bbb R\}$ :\begin\{\}\partial \_tu+\partial \_xf(u)=\partial \_x^2u.\end\{\}Nous faisons l’hypothèse que le système réduit $\partial _tu+\partial _xf(u)=0$ est hyperbolique. Notre but est la description de l’interaction d’ondes simples, mono-dimensionnelles, le plus souvent deux ondes exactement. L’une d’elle, au moins, est une onde de choc (pour le système réduit) visqueuse (pour le système parabolique). Il y a donc a priori un champ caractéristique vraiment non linéaire. L’autre peut être également une onde choc, pour la même famille ou bien pour une autre, ou encore être une couche limite, c’est-à-dire une solution stationnaire avec une condition de Dirichlet. Dans ce cas, on suppose que le bord n’est pas caractéristique. Cette question trouve sa source dans l’analyse de la méthode de viscosité appliquée à l’étude des systèmes hyperboliques de lois de conservation.L’interaction est décrite ici par des solutions globales en temps, dans le domaine inhabituel $-\infty &lt; t&lt; +\infty $. On reste cependant dans le cadre du problème de Cauchy, avec un comportement prescrit lorsque le temps décroît vers $-\infty $. Nous obtenons un théorème d’existence de telles solutions, lorsque les ondes incidentes sont d’amplitude assez petite. Dans le cas scalaire, le résultat a lieu sans cette restriction et nous pouvons de plus, en suivant l’analyse de Freistühler et de l’auteur [$L^1$-stability of shock waves in scalar viscous conservation laws, Com. Pure Appl. Math., vol 51 (1998), 291-301], décrire totalement l’interaction, c’est-à-dire le comportement asymptotique quand le temps tend vers l’infini.},
author = {Serre, Denis},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {viscous shock waves; boundary layers; initial value problem; mixed problem},
language = {fre},
number = {4},
pages = {1069-1091},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Solutions globales $(-\infty &lt;t&lt;+\infty )$ des systèmes paraboliques de lois de conservation},
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volume = {48},
year = {1998},
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TY - JOUR
AU - Serre, Denis
TI - Solutions globales $(-\infty &lt;t&lt;+\infty )$ des systèmes paraboliques de lois de conservation
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1998
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 48
IS - 4
SP - 1069
EP - 1091
AB - Nous considérons ici des solutions particulières des systèmes paraboliques de lois de conservation dans le domaine $x&gt;0$ ou bien pour $x\in {\Bbb R}$ :\begin{}\partial _tu+\partial _xf(u)=\partial _x^2u.\end{}Nous faisons l’hypothèse que le système réduit $\partial _tu+\partial _xf(u)=0$ est hyperbolique. Notre but est la description de l’interaction d’ondes simples, mono-dimensionnelles, le plus souvent deux ondes exactement. L’une d’elle, au moins, est une onde de choc (pour le système réduit) visqueuse (pour le système parabolique). Il y a donc a priori un champ caractéristique vraiment non linéaire. L’autre peut être également une onde choc, pour la même famille ou bien pour une autre, ou encore être une couche limite, c’est-à-dire une solution stationnaire avec une condition de Dirichlet. Dans ce cas, on suppose que le bord n’est pas caractéristique. Cette question trouve sa source dans l’analyse de la méthode de viscosité appliquée à l’étude des systèmes hyperboliques de lois de conservation.L’interaction est décrite ici par des solutions globales en temps, dans le domaine inhabituel $-\infty &lt; t&lt; +\infty $. On reste cependant dans le cadre du problème de Cauchy, avec un comportement prescrit lorsque le temps décroît vers $-\infty $. Nous obtenons un théorème d’existence de telles solutions, lorsque les ondes incidentes sont d’amplitude assez petite. Dans le cas scalaire, le résultat a lieu sans cette restriction et nous pouvons de plus, en suivant l’analyse de Freistühler et de l’auteur [$L^1$-stability of shock waves in scalar viscous conservation laws, Com. Pure Appl. Math., vol 51 (1998), 291-301], décrire totalement l’interaction, c’est-à-dire le comportement asymptotique quand le temps tend vers l’infini.
LA - fre
KW - viscous shock waves; boundary layers; initial value problem; mixed problem
UR - http://eudml.org/doc/75309
ER -