Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs

Abderrazak Bouaziz; Nouri Kamoun

Annales de l'institut Fourier (2000)

  • Volume: 50, Issue: 6, page 1799-1857
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let G be a reductive Lie group with Lie algebra 𝔤 , D be a non zero G -invariant differential operator with constant coefficients on 𝔤 and v be a G -invariant distribution on f . We prove that the differential equation D · u = v has solutions in the space of G -invariant distributions on 𝔤 ; moreover, if v is tempered or of finite order, we can find solutions with the same properties. If D is a non zero bi-invariant differential operator on G , Benabdallah and Rouvière gave a sufficient condition for D to have a central fundamental solution on G . We prove that their condition is also sufficient for the differential equation D · u = v to have solutions in the space of finite order central distributions on G .

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Bouaziz, Abderrazak, and Kamoun, Nouri. "Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs." Annales de l'institut Fourier 50.6 (2000): 1799-1857. <http://eudml.org/doc/75472>.

@article{Bouaziz2000,
abstract = {Soient $G$ un groupe de Lie réductif d’algèbre de Lie $\{\frak g\}$, $D$ un opérateur différentiel non nul à coefficients constants et $G$-invariant sur $\{\frak g\}$, et $v$ une distribution $G$-invariante sur $\{\frak g\}$. Nous montrons que l’équation différentielle $D\cdot u=v$ a des solutions dans l’espace des distributions $G$-invariantes sur $\{\frak g\}$; de plus, si $v$ est tempérée ou d’ordre fini, on peut trouver des solutions ayant les mêmes propriétés. Si $D$ est un opérateur différentiel bi-invariant non nul sur $G$, Benabdallah et Rouvière ont donné une condition suffisante pour qu’il ait une solution élémentaire centrale; nous montrons que leur condition est encore suffisante pour que l’équation différentielle $D\cdot u=v$ admette des solutions dans l’espace des distributions centrales d’ordre fini sur $G$.},
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TY - JOUR
AU - Bouaziz, Abderrazak
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VL - 50
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AB - Soient $G$ un groupe de Lie réductif d’algèbre de Lie ${\frak g}$, $D$ un opérateur différentiel non nul à coefficients constants et $G$-invariant sur ${\frak g}$, et $v$ une distribution $G$-invariante sur ${\frak g}$. Nous montrons que l’équation différentielle $D\cdot u=v$ a des solutions dans l’espace des distributions $G$-invariantes sur ${\frak g}$; de plus, si $v$ est tempérée ou d’ordre fini, on peut trouver des solutions ayant les mêmes propriétés. Si $D$ est un opérateur différentiel bi-invariant non nul sur $G$, Benabdallah et Rouvière ont donné une condition suffisante pour qu’il ait une solution élémentaire centrale; nous montrons que leur condition est encore suffisante pour que l’équation différentielle $D\cdot u=v$ admette des solutions dans l’espace des distributions centrales d’ordre fini sur $G$.
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KW - reductive Lie algebras; reductive Lie groups; invariant differential operators; invariant distributions; differential equations
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