Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution

Bernard Malgrange

Annales de l'institut Fourier (1956)

  • Volume: 6, page 271-355
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Le premier chapitre est consacré (aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Une telle équation possède toujours une solution élémentaire E possédant la propriété suivante : si f est une fonction de carré sommable à support compact, E * f est une fonction localement de carré sommable.Dans tout ouvert convexe, une équation dont le second membre est indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable) admet une solution indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable).Les solutions d’une équation homogène dans un ouvert convexe sont limites de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions.Le second chapitre est consacré aux équations de convolution homogène dont le noyau est à support compact : toute solution d’une telle équation est limite de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions (ce qui généralise aux fonctions de plusieurs variables une partie des résultats de Delsarte et Schwartz sur les fonctions moyennes-périodiques).Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques (appelées ici : équations du type ( P ) , à valeurs dans des espaces fibrés à fibre vectorielle de base non compacte : on fait l’hypothèse suivante : toute solution de l’équation (homogène, transposée, nulle sur un ouvert, est identiquement nulle (hypothèse vérifiée, par exemple, si l’équation est à coefficients analytiques). Alors :a) Toute équation avec second membre admet une solution.b) Toute solution de l’équation homogène dans un ouvert est limite de solutions dans tout l’espace si et seulement si le complémentaire de cet ouvert n’a pas de composantes connexes compactes.Application : sur un espace de Riemann analytique, on peut calculer la cohomologie avec les formes différentielles à coefficients analytiques.

How to cite

top

Malgrange, Bernard. "Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution." Annales de l'institut Fourier 6 (1956): 271-355. <http://eudml.org/doc/73728>.

@article{Malgrange1956,
abstract = {Le premier chapitre est consacré (aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Une telle équation possède toujours une solution élémentaire $E$ possédant la propriété suivante : si $f$ est une fonction de carré sommable à support compact, $E*f$ est une fonction localement de carré sommable.Dans tout ouvert convexe, une équation dont le second membre est indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable) admet une solution indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable).Les solutions d’une équation homogène dans un ouvert convexe sont limites de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions.Le second chapitre est consacré aux équations de convolution homogène dont le noyau est à support compact : toute solution d’une telle équation est limite de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions (ce qui généralise aux fonctions de plusieurs variables une partie des résultats de Delsarte et Schwartz sur les fonctions moyennes-périodiques).Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques (appelées ici : équations du type $(P)$, à valeurs dans des espaces fibrés à fibre vectorielle de base non compacte : on fait l’hypothèse suivante : toute solution de l’équation (homogène, transposée, nulle sur un ouvert, est identiquement nulle (hypothèse vérifiée, par exemple, si l’équation est à coefficients analytiques). Alors :a) Toute équation avec second membre admet une solution.b) Toute solution de l’équation homogène dans un ouvert est limite de solutions dans tout l’espace si et seulement si le complémentaire de cet ouvert n’a pas de composantes connexes compactes.Application : sur un espace de Riemann analytique, on peut calculer la cohomologie avec les formes différentielles à coefficients analytiques.},
author = {Malgrange, Bernard},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {partial differential equations},
language = {fre},
pages = {271-355},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution},
url = {http://eudml.org/doc/73728},
volume = {6},
year = {1956},
}

TY - JOUR
AU - Malgrange, Bernard
TI - Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1956
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 6
SP - 271
EP - 355
AB - Le premier chapitre est consacré (aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Une telle équation possède toujours une solution élémentaire $E$ possédant la propriété suivante : si $f$ est une fonction de carré sommable à support compact, $E*f$ est une fonction localement de carré sommable.Dans tout ouvert convexe, une équation dont le second membre est indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable) admet une solution indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable).Les solutions d’une équation homogène dans un ouvert convexe sont limites de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions.Le second chapitre est consacré aux équations de convolution homogène dont le noyau est à support compact : toute solution d’une telle équation est limite de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions (ce qui généralise aux fonctions de plusieurs variables une partie des résultats de Delsarte et Schwartz sur les fonctions moyennes-périodiques).Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques (appelées ici : équations du type $(P)$, à valeurs dans des espaces fibrés à fibre vectorielle de base non compacte : on fait l’hypothèse suivante : toute solution de l’équation (homogène, transposée, nulle sur un ouvert, est identiquement nulle (hypothèse vérifiée, par exemple, si l’équation est à coefficients analytiques). Alors :a) Toute équation avec second membre admet une solution.b) Toute solution de l’équation homogène dans un ouvert est limite de solutions dans tout l’espace si et seulement si le complémentaire de cet ouvert n’a pas de composantes connexes compactes.Application : sur un espace de Riemann analytique, on peut calculer la cohomologie avec les formes différentielles à coefficients analytiques.
LA - fre
KW - partial differential equations
UR - http://eudml.org/doc/73728
ER -

References

top
  1. [1] N. ARONSZAJN. Sur l'unicité du prolongement des solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques du 2e ordre, C. R. Acad. Sc. 242 (1956), p. 723-725. Zbl0074.31203MR17,854d
  2. [1bis] H. BEHNKE und K. STEIN, Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen, Math. Annalen, 120 (1948), p. 430-461. Zbl0038.23502MR10,696c
  3. [2] N. BOURBAKI, Espaces vectoriels topologiques, Chap. I et II, Hermann, Paris, 1953. Zbl0050.10703
  4. [3] H. CARTAN, Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bull. Soc. Math. de France, 78 (1950), p. 28-64. Zbl0038.23703MR12,172f
  5. [4] H. CARTAN, Séminaire E. N. S., 1951-1952, (polycopié). 
  6. [5] H. CARTAN, Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, p. 41-55. Zbl0053.05301MR16,235a
  7. [6] T. CARLEMAN, Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables, C. R. Acad. Sc. 197 (1953), p. 471-474. Zbl0007.16202JFM59.0469.03
  8. [7] J. DELSARTE, Les fonctions moyenne-périodiques. Journal Math. pures et appl., série 9, t. 14 (1935), p. 403-453. Zbl0013.25405JFM61.1185.02
  9. [8] J. DIEUDONNÉ et L. SCHWARTZ, La dualité dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier (1949). p. 61-101. Zbl0035.35501MR12,417d
  10. [8bis] K. O. FRIEDRICHS, Differentiability of solutions of linear elliptic equations, Comm. Pures & Appl. Math. (1953), p. 299-326. Zbl0051.32703MR15,430c
  11. [9] L. GÅRDING, Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand., 1 (1953), p. 55-72. Zbl0053.39101MR16,366a
  12. [10] A. GROTHENDIECK, Sur les espaces de solutions d'une classe générale d'équations aux dérivées partielles, Journal Anal. Math., Jérusalem (1952-1953), p. 243-280. Zbl0051.08801MR16,489b
  13. [11] A. GROTHENDIECK, Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis Math., 3, 6 (1954), p. 57-121. Zbl0058.09803MR17,765b
  14. [12] A. GROTHENDIECK, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Memoirs of the Amer. Math. Soc. Zbl0064.35501
  15. [13] A. GROTHENDIECK, Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier (1952), p. 73-112. Zbl0055.09705MR15,879b
  16. [14] F. JOHN, General properties of solutions of linear elliptic partial differentials equations, Symposium on spectral theory and differentials problems, Oklahoma (1951), p. 113-175. Zbl0067.07601MR13,349d
  17. [15] J. P. KAHANE, Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles, Ann. Inst, Fourier (1953-1954), p. 39-130. Zbl0064.35903MR17,732b
  18. [15bis] P. D. LAX, On Cauchy problem for hyperbolic équations, and the differentiability of solutions of elliptic equations, Comm. Pures & Appl. Math. (1955), p. 615-631. Zbl0067.07502MR17,1212c
  19. [16] E. LINDELÖF, Sur les fonctions entières d'ordre entier, Ann. E. N. S., 22 (1905), p. 369-395. Zbl36.0479.01JFM36.0479.01
  20. [17] J.-L. LIONS, Supports dans la transformation de Laplace, Journal Anal. Math., Jérusalem (1952-1953), p. 369-380. Zbl0051.33504
  21. [18] J.-L. LIONS et L. SCHWARTZ, Problèmes aux limites sur certains espaces fibrés, Acta. Math., 94 (1955), p. 155-159. Zbl0068.30903MR17,746a
  22. [19] B. MALGRANGE, Equations aux dérivées partielles à coefficients constants. Solution élémentaire, C. R. Acad. Sc., 237 (1953), p. 1620-1622. Zbl0052.34202MR15,626f
  23. [20] B. MALGRANGE, Equations aux dérivées partielles à coefficients constants. 2 : Equations avec second membre, C. R. Acad. Sc., 238 (1954), p. 196-198. Zbl0056.10702MR15,626g
  24. [21] B. MALGRANGE, Sur quelques propriétés des équations de convolution, C. R. Acad. Sc., 238 (1954), p. 2219-2221. Zbl0055.10203MR16,127a
  25. [22] B. MALGRANGE, Formes harmoniques sur des espaces de Riemann à ds2 analytique, C. R. Acad. Sc., 240 (1955), p. 1958-1960. Zbl0064.34304MR17,404g
  26. [23] H. MUGGLI, Differentialgleichungen unendlichhöher Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Comm. math. Helvetici, 11 (1938-1939), p. 151-179. Zbl0019.34601JFM64.0426.02
  27. [24] I. G. PETROWSKY, Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles, Mat. Sbornik, 5 (1938), p. 3-68. Zbl0022.22601MR1,236bJFM65.0405.02
  28. [25] G. de RHAM, Variétés différentiables, Hermann, Paris 1955. Zbl0065.32401
  29. [26] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions, t. 1 et 2, Hermann, Paris 1950-1951. Zbl0042.11405
  30. [27] L. SCHWARTZ, Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Ann. of. Math., 48 (1947), p. 857-929. Zbl0030.15004MR9,428c
  31. [28] L. SCHWARTZ, Séminaire1953-1954 (polycopié). 
  32. [29] L. SCHWARTZ, Séminaire1954-1955 (polycopié). 
  33. [30] L. SCHWARTZ, Homomorphismes et applications complètement continues, C. R. Acad. Sc., 236 (1953), p. 2472-2473. Zbl0050.33301MR15,233b
  34. L. SCHWARTZ et J. DIEUDONNÉ, Voir J. Dieudonné et L. Schwartz. 
  35. L. SCHWARTZ et J. L. LIONS, Voir J. L. Lions et L. Schwartz. 
  36. [31] J. P. SERRE, Un théorème de dualité, Comm. Math. Helvet., 29 (1955), p. 9-26. Zbl0067.16101MR16,736d
  37. K. STEIN und H. BEHNKE, Voir H. Behnke und K. Stein. 
  38. [32] G. VALIRON, Sur les solutions des équations différentielles linéaires d'ordre infini et à coefficients constants, Ann. E. N. S., 46 (1929), p. 25-53. Zbl55.0857.04JFM55.0857.04
  39. [33] I. N. VEKOUA, Sistemy differentsial'nykh ouravnenii, Mat. Sbornik, 31 (73) (1952), p. 217-314. 
  40. [34] A. WEIL, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Hermann, Paris 1940. Zbl0063.08195MR3,198bJFM66.1205.02
  41. [35] Contributions to the theory of partial differential equations, Princeton 1954. Zbl0056.31602
  42. [36] L. EHRENPREIS, Solution of some problems of division I, Amer. Journal of Math., 76 (1954), p. 883-903. Zbl0056.10601MR16,834a
  43. [37] L. EHRENPREIS, Solution of some problems of division II, Amer. Journal of Math., 77 (1955), p. 286-292. Zbl0064.11504MR16,1123a
  44. [38] L. EHRENPREIS, Mean periodic functions I, Amer. Journal of Math., 77 (1955), p. 293-327. Zbl0068.31702
  45. [39] L. EHRENPREIS, The division problem for distribution, Proc. Nat. Acad. Sc. 41-10 (1955), p. 756-758. Zbl0065.10203MR17,877a
  46. [40] L. EHRENPREIS, Completely inversible operators, Proc. Nat. Acad. Sc. 41-11 (1955), p. 945-946. Zbl0066.35001MR17,877b
  47. [41] L. HÖRMANDER, On the theory of general partial differential operators, Acta. Math., 94 (1955) p. 160-248. Zbl0067.32201MR17,853d

Citations in EuDML Documents

top
  1. Pierre Grisvard, Résolution locale d'une équation différentielle
  2. Laurent Schwartz, Solution élémentaire d'une équation aux dérivées partielles à coefficients constants
  3. Laurent Schwartz, Opérateurs différentiels et espaces fibrés à fibre vectorielle
  4. Tark Bouhennache, Yves Dermenjian, Nouvelles propriétés des courbes et relations de dispersion en élasticité linéaire
  5. Mohamed Salah Baouendi, Les opérateurs de convolution
  6. Antonia Chinnì, Paolo Cubiotti, Partial differential equations in Banach spaces involving nilpotent linear operators
  7. Gilles Royer, Marc Yor, Représentation intégrale de certaines mesures quasi-invariantes sur 𝒞 ( 𝐑 ) ; mesures extrémales et propriété de Markov
  8. Leon Ehrenpreis, Exotic parametrization problems
  9. Victor P. Palamodov, Harmonic synthesis of solutions of elliptic equation with periodic coefficients
  10. Henrik Petersson, Hypercyclic convolution operators on entire functions of Hilbert-Schmidt holomorphy type

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.