Note sur un article de Sharif et Woodcock

Jean-Paul Allouche

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (1989)

  • Volume: 1, Issue: 1, page 163-187
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

top
H. Sharif and C. Woodcock give in [26] a characterization of formal power series with coefficients in a field K of positive characteristic, which are algebraic over K ( X ) . They deduce in a simple way from this theorem the algebraicity of Hadamard products and diagonals of algebraic power series. (These results have been also obtained by T. Harase [14]). We give here a slightly different proof of their theorem and we show how it can lead to an interesting generalization of the notion of p k -substitution on an infinite alphabet (included in a field of characteristic p ). In the last part of this paper we come back to the algebraic independence of certain formal power series which have been previously studied in [2].

How to cite

top

Allouche, Jean-Paul. "Note sur un article de Sharif et Woodcock." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 1.1 (1989): 163-187. <http://eudml.org/doc/93494>.

@article{Allouche1989,
abstract = {H. Sharif et C. Woodcock donnent dans [26] une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un corps $K$ de caractéristique non nulle et algébriques sur $K(X)$ ; ils en déduisent simplement l’algébricité du produit de Hadamard ou des diagonales de séries algébriques. (Ces résultats ont aussi été obtenus par T. Harase [14]). Nous donnons ici une démonstration légèrement différente de leur théorème et montrons comment on peut en déduire une généralisation intéressante de la notion de $p^k$-substitution sur un alphabet infini (inclus dans un corps de caractéristique $p$). Dans la dernière partie de cet article nous revenons sur l’indépendance algébrique de certaines séries formelles étudiées dans [2].},
author = {Allouche, Jean-Paul},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {formal power series; Hadamard products; diagonals of algebraic power series; automata; algebraic power series; -substitution; Schützenberger’s recognizability; algebraic independence},
language = {fre},
number = {1},
pages = {163-187},
publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Note sur un article de Sharif et Woodcock},
url = {http://eudml.org/doc/93494},
volume = {1},
year = {1989},
}

TY - JOUR
AU - Allouche, Jean-Paul
TI - Note sur un article de Sharif et Woodcock
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 1989
PB - Université Bordeaux I
VL - 1
IS - 1
SP - 163
EP - 187
AB - H. Sharif et C. Woodcock donnent dans [26] une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un corps $K$ de caractéristique non nulle et algébriques sur $K(X)$ ; ils en déduisent simplement l’algébricité du produit de Hadamard ou des diagonales de séries algébriques. (Ces résultats ont aussi été obtenus par T. Harase [14]). Nous donnons ici une démonstration légèrement différente de leur théorème et montrons comment on peut en déduire une généralisation intéressante de la notion de $p^k$-substitution sur un alphabet infini (inclus dans un corps de caractéristique $p$). Dans la dernière partie de cet article nous revenons sur l’indépendance algébrique de certaines séries formelles étudiées dans [2].
LA - fre
KW - formal power series; Hadamard products; diagonals of algebraic power series; automata; algebraic power series; -substitution; Schützenberger’s recognizability; algebraic independence
UR - http://eudml.org/doc/93494
ER -

References

top
  1. [1] J-P. Allouche, Automates finis en théorie des Nombres, Expo. Math..5 (1987), 239-266. Zbl0641.10041MR898507
  2. [2] J-P. Allouche, M. Mendès France, et A.J. van der POORTEN, Indépendance algébrique de certaines séries formelles, Bull. Soc. Math. France116 (1988), 449-454. Zbl0696.10031MR1005389
  3. [3] J-P. Bezivin.Communication privée. 
  4. [4] G. Christol, Ensembles presque périodiques k-reconnaissables, Theoretical Computer Science, 9 (1979), 141-145. Zbl0402.68044MR535129
  5. [5] G. Christol, Fonctions et éléments algébriques, Pac. J. Math.1251 (1986), 1-37. Zbl0591.12018
  6. [6] G. Christol, Diagonales de fractions rationnelles, Sém. de Théorie des Nombres de Paris (1986-1987), 65-90. Progress in Math., Birkhäuser. Zbl0694.13013MR990506
  7. [7] G. Christol, T. Kamae, M. Mendès France et G. Rauzy, Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 108 (1980), 401-419. Zbl0472.10035MR614317
  8. [8] P. Deligne, Intégration sur un cycle évanescent, Invent. Math.76 (1983), 129-143. Zbl0538.13007MR739629
  9. [9] J. Denef et L. Lipshitz, Algebraic power series and diagonals, J. Number Theory26 (1987), 46-67. Zbl0609.12020MR883533
  10. [10] M. Fliess, Sur certaines familles de séries formelles, Thèse, ParisVII (1972). 
  11. [11] M. Fliess, Sur divers produits de séries formelles, Bull. Soc. Math. France102 (1974), 181-191. Zbl0313.13021MR354647
  12. [12] J. Fresnel.Communication privée. 
  13. [13] H. Furstenberg, Algebraic functions over finite fields, J. Algebra7 (1967), 271-277. Zbl0175.03903MR215820
  14. [14] T. Harase, Algebraic elements in formal power series rings, Israel Journal of Math.633 (1988), 281-288. Zbl0675.13015MR969943
  15. [15] G. Henniart.Communication privée. 
  16. [16] R. Jungen, Sur les séries de Taylor n'ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence, Comment. Math. Helv.3 (1931), 266-306. Zbl0003.11901MR1509439JFM57.0373.03
  17. [17] P. Liardet, Automata and generalized Rudin-Shapiro sequences, Salzburg Universitât (1986). 
  18. [18] L. Lipshitz et A.J. van der POORTEN, Rational functions, diagonals, automata and arithmetic, in R.A. Mollin (ed.), First conference of the CanadianNumber Theory Association, Banff/Can. (1988). (de Gruyter1989). Zbl0694.10008
  19. [19] M. Mendès France et A.J. van der POORTEN, Automata and the arithmetic of formal power series, Acta Arith.46 (1986), 211-214. Zbl0599.12020MR864257
  20. [20] A.J. van der POORTEN, Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci. Paris t. 306, Série I (1988), 97-102. Zbl0635.10007MR929097
  21. [21] Y. Pourchet, Solution du problème arithmétique du quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C.R. Acad. Sci. Paris t. 288, série A (1979), 1055-1057. Zbl0421.13005MR541979
  22. [22] R. Rumely, Note on van der Poorten's proof of the Hadamard quotient theorem (Part I and II),, Sém. de Théorie des Nombres de Paris (1986-1987), 349-409. Progress in Math., Birkhaüser. Zbl0661.10017MR990517
  23. [23] O. Salon, Suites automatiques à multi-indices, Sém. de Théorie des Nombres de Bordeaux, exposé n° 4 (1986-1987), 4.01-4.36. (avec un appendice de J. Shallit). Zbl0653.10049
  24. [24] T. Schneider, Einführung in die Tranzendenten Zahlen, Springer, Berlin (1957.). Zbl0077.04703MR86842
  25. [25] M.P. Schützenberger, On a definition of a family of automata, Information and Control4 (1961), 245-270. Zbl0104.00702MR135680
  26. [26] H. Sharif et C.F. Woodcock, Algebraic functions over a field of positive characteristic and Hadamard products, J. Lond. Math. Soc. (2) 37 (1988), 395-403. Zbl0612.12018MR939116
  27. [27] H. Sharif et C.F. Woodcock, Hadamard products of rational formal power series. Preprint. Zbl0703.13017MR1036407
  28. [28] H. Sharif et C.F. Woodcock, On the transcendence of certain series, J. Algebra121 (1989), 364-369. Zbl0689.13014MR992771
  29. [29] L.I. Wade, Two types of function field transcendental numbers, Duke Math. J.11 (1944), 755-758.. Zbl0063.08103MR11296

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.