L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle

Erik Thomas

Annales de l'institut Fourier (1970)

  • Volume: 20, Issue: 2, page 55-191
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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This article concerns a new method of extension of a Radon measure μ : H ( T ) → E , to a space of scalar functions L 1 ( μ ) , and the detailed study of this extension. The essential tool is the “semi-variation” of μ in the case where E is a normed space, a concept that has it’s origin in the set theoretic semi-variation of Bartle, Dunford and Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), as well as in the essential superior integral of Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) of which this “semi-variation” is a generalisation. Conditions for the validity of the usual convergence theorems are given and a characterisation is given of the spaces E such that an arbitrary Radon measure μ : H ( T ) → E satisfies this condition . Orlicz theorem and new generalisations of it (Appendice II) are applied to obtain caracterisations of L 1 ( μ ) in terms of scalarly μ -integrable functions. The spaces E for which any scalarly μ -integrable function is μ -integrable are characterised , which establishes a connection between (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) and (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application is made to the study of bi-measures leading to improvements of certain results of Morse and Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). The integration of vector-valued functions with respect to vector-valued measures is also considered, as well as the tensor product of two vector-valued measures.

How to cite

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Thomas, Erik. "L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle." Annales de l'institut Fourier 20.2 (1970): 55-191. <http://eudml.org/doc/74022>.

@article{Thomas1970,
abstract = {Cet article concerne une méthode nouvelle de prolongement d’une mesure de Radon $\mu :\{\bf H\}(T)\rightarrow E$, à un espace de fonctions scalaires $\{\bf L\}^1(\mu )$, et l’étude détaillée de ce prolongement. L’outil essentiel est la “semi-variation” associée à $\mu $ dans le cas où $E$ est un espace normé, une notion qui a son origine à la fois dans la semi-variation ensembliste de Bartle, Dunford et Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), et dans l’intégrale supérieure essentielle de Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) dont la “semi-variation” est une généralisation. On examine les conditions de validité des théorèmes de convergence usuels et l’on caractérise les espaces $E$ tels que ces conditions sont vérifiées pour une mesure de Radon $\mu :\{\bf H\}(T)\rightarrow E$ arbitraire. Le théorème d’Orlicz et des généralisations nouvelles de ce théorème sont appliqués pour obtenir des caractérisations de $\{\bf L\}^1(\mu )$ en termes de fonctions scalairement $\mu $-intégrales. On caractérise les espaces $E$ pour lesquels toute fonction scalairement $\mu $-intégrable est $\mu $-intégrable, établissant ainsi un lien entre (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) et (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application est faite à l’étude des bi-mesures ce qui permet d’améliorer certains résultats de Morse et Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). On considère l’intégration de fonctions vectorielles par rapport à une mesure de Radon vectorielle et l’on aborde l’étude du produit tensoriel de deux mesures vectorielles.},
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References

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  1. [1] R. G. BARTLE, N. DUNFORD and J. SCHWARTZ, Weak compactness and vector measures, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305. Zbl0068.09301MR16,1123c
  2. [1 bis] C. BESSAGA et A. PELCZYNSKI, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Studia Mathematica T. XVII (1958). Zbl0084.09805MR22 #5872
  3. [2] NICOLAS BOURBAKI, Intégration, Chapitres 1-4, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965. 
  4. [3] J. DENY, Les Potentiels d'Énergie finie, Acta Mathematica, 82 (1950), 107-183. Zbl0034.36201MR12,98e
  5. [4] J. DIEUDONNÉ, Sur la convergence de suites de Mesures de Radon Anais da Acad. Bras. Ciencias, 23 (1951) 81-115. Zbl0043.11202MR13,121a
  6. [5] N. DINCULEANU, Vector Measures (Pergamon Press). Zbl0142.10502
  7. [6] N. DUNFORD, Uniformity in Linear Spaces, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44 (1938), 305-356. Zbl0019.41604MR1501971JFM64.0371.01
  8. [7] N. DUNFORD and B. J. PETTIS, Linear Operations on Summable Functions, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 47 (1940), 323-392. Zbl0023.32902MR1,338bJFM66.0556.01
  9. [8] N. DUNDORD and J. SCHWARTZ, Linear Operators. vol. I : General Theory. New York, London, Interscience Publishers, (1958). Zbl0084.10402
  10. [9] G. FOX, Extension of a bounded vector measure with values in a reflexive Banach space, Bull. Canad. Math. 10, n° 4, (1967) 525-529. Zbl0186.46501MR37 #1552
  11. [10] A. GROTHENDIECK, Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K), Canad. J. of Math., t. 5, (1953), 129-173. Zbl0050.10902MR15,438b
  12. [11] W. HACKENBROCH, Integration vektorwertiger Funktionen nach operatorwertigen Maben, Math. Zeitschr. 105, 327-344 (1968). Zbl0179.17803MR40 #2813
  13. [12] M. MORSE and W. TRANSUE, C-Bimeasures and their integral extensions, Annals of Mathematics, vol. 64, n° 3 (1956). Zbl0073.27302MR19,127d
  14. [12 bis] A. PELCZYNSKI, Projections in certain Banach spaces. Studia Mathematica T. XIX (1960). Zbl0104.08503MR23 #A3441
  15. [13] J. B. PETTIS, On Integration in Vector Spaces. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 44 (1938), 277-304. Zbl0019.41603MR1501970JFM64.0371.02
  16. [14] R. S. PHILLIPS, On linear Transformations, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 48 (1940), 516-541. Zbl0025.34202MR2,318cJFM66.0554.01
  17. [15] L. SCHWARTZ, Sous-espaces Hilbertiens d'espaces vectoriels topologiques et Noyaux associés, Journal d'Analyse Mathématique, vol. XIII (1964). Zbl0124.06504
  18. [16] E. THOMAS, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle, Séminaire Choquet (Initiation à l'Analyse), 7e année, 1967-1968, n° B.10. Zbl0184.17701

Citations in EuDML Documents

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  1. L. Schwartz, Les semi-martingales et la théorie de la mesure
  2. P. Y. Glorennec, J. Pellaumail, Théorème de Riesz pour des processus réels
  3. Gabriel Birame Ndiaye, Doudou Sakhir Thiam, Intégration par rapport à une multimesure de Radon monotone, à valeurs convexes fermées bornées
  4. B. Bru, H. Heinich, Sur l'espérance des variables aléatoires vectorielles
  5. Thiruvaiyaru V. Panchapagesan, On complex Radon measures. II
  6. Thiruvaiyaru V. Panchapagesan, Weak compactness of unconditionally convergent operators on C 0 ( T )
  7. Laurent Schwartz, Les semi-martingales formelles
  8. Susumu Okada, Vector Daniell integrals
  9. Thiruvaiyaru V. Panchapagesan, A Borel extension approach to weakly compact operators on C 0 ( T )
  10. Danièle Bucchioni, Mesures vectorielles et partitions continues de l'unité

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