Sur le théorème de Poincaré-Bendixson

Robert Moussu; Fernand Pelletier

Annales de l'institut Fourier (1974)

  • Volume: 24, Issue: 1, page 131-148
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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The aim of this article is to prove two necessary conditions of non-existence of exceptional minimal set in a codimension one foliation F on a compact manifold M . The first one is about the growth of leaves, and gives an answer to a conjecture of Plante. The second one is about the fundamental groups of M and leaves of F .From this two conditions, we deduce two necessary and sufficient conditions for a foliation to be without holonomy. Then these results are applied to the following cases: - foliation on a manifold fibred over S 1 , with T 2 . - foliation on the total space of a bundle with fiber S 1 , transverse to the fibration.

How to cite

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Moussu, Robert, and Pelletier, Fernand. "Sur le théorème de Poincaré-Bendixson." Annales de l'institut Fourier 24.1 (1974): 131-148. <http://eudml.org/doc/74158>.

@article{Moussu1974,
abstract = {Le but de cet article est de démontrer deux conditions nécessaires de non existence d’ensemble minimal exceptionnel dans un feuilletage $F$ de codimension 1 d’une variété compacte $M$. La première est métrique ; elle porte sur la croissance des feuilles et elle répond à une conjecture de Plante. La seconde est homotopique, elle porte sur les groupes fondamentaux de $M$ et des feuilles de $F$.De ces deux conditions, nous déduisons deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un feuilletage soit sans holonomie. Enfin, ces résultats sont appliqués dans deux cas particuliers :$-$ les feuilletages d’une variété fibrée sur $S^1$ de fibre $T^2$.$-$ les feuilletages d’un fibré en cercle $S^1$, transverses à la fibration.},
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ER -

References

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  1. [1] A. DENJOY, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. Journal de Math. Vol. 11 (1932). Zbl58.1124.04JFM58.1124.04
  2. [2] N. KOPELL, Commuting diffeomorphisms - thèse (Université de Berkeley) (1967). 
  3. [3] E. MAZET, Sur les travaux de Milnor-Wolf - Séminaire Berger (1972). 
  4. [4] J. MILNOR, A note on curvature and fundamental group, Journal of differential Geometry 2 (1968). Zbl0162.25401MR38 #636
  5. [5] R. MOUSSU, Sur les feuilletages de codimension 1 - thèse Orsay (1971). 
  6. [6] R. MOUSSU et R. ROUSSARIE, Une condition suffisante pour qu'un feuilletage soit sans holonomie - Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Tome 271, Série A (1970) 240-243. Zbl0196.26902MR43 #2732
  7. [7] R. MOUSSU et R. ROUSSARIE, Relations de conjugaison et de cobordisme entre certains feuilletages (à paraître aux publications de l'I.H.E.S.). Zbl0356.57018
  8. [8] S.P. NOVIKOV, Topology of foliations - Trudy Mark - Math. Obsch - Vol. 14. (1965). Zbl0247.57006MR34 #824
  9. [9] J.F. PLANTE, Asymptotic properties of foliations (à paraître dans commentarii Math. Hel). Zbl0254.57015
  10. [10] J.F. PLANTE, A generalisation of the Poincaré-Bendixson theorem for foliations of codimension one (à paraître dans Topology). Zbl0254.57014
  11. [11] J.F. PLANTE, On the existence of exceptional minimal sets in foliations of codimension one (à paraître). Zbl0294.57017
  12. [12] B. RAYMOND, Notes multigraphiées. 
  13. [13] G. REEB, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées; Actualités scientifiques et industrielles, Hermann (1952). Zbl0049.12602MR14,1113a
  14. [14] H. ROSENBERG et R. ROUSSARIE, Topological equivalence of Reeb foliations, Topology Vol. 9 (1970). Zbl0211.26602MR41 #7712
  15. [15] R. ROUSSARIE, Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, à paraître aux publications de l'I.H.E.S. Zbl0356.57017
  16. [16] R. SACKSTEDER, Foliations and pseudo-groups, American journal of Math. Vol. 87 (1965). Zbl0136.20903MR30 #4268
  17. [17] D. TISCHLER, On fibering certain foliated manifolds, Topology, Vol. 9, n° 2 (1970). Zbl0177.52103MR41 #1069
  18. [18] H. WHITNEY, Geometric integration theory, Princeton University, Press (1957). Zbl0083.28204MR19,309c
  19. [19] J. WOLF, Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian manifolds, Journal of differential Geometry 2 (1968) 421-446. Zbl0207.51803MR40 #1939

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