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Soit $\omega \left(x\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(x\right)d{x}_i$ un germe en $0\in {\mathbf{R}}^n$ d’une forme de Pfaff, complètement intégrable ($\omega \wedge d\omega =0$) de classe $C^{\infty }$ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé $({\dim }_{\mathbf{R}}{E}_n/[a_1,a_2,...,a_n]\<\infty ).$ La matrice $\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\left(0\right)\right)$ est symétrique ; soit $q_w$ la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail : i) que $\omega$ possède une intégrale première formelle (i.e., $j^{\infty }\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$ où $f$ et $g$ sont des séries formelles). ii) que, si $\omega$ est analytique et rang $q_w\ge 2$, $\omega$ possède une intégrale première analytique (i.e. $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in 0_n$). iii) que, si $\omega$ est $C^{\infty }$ et...

On introduit, dans ce travail, une hypothèse sur le spiralement d’une feuille d’un feuilletage analytique réel de codimension un (hypersurface pfaffienne). On en tire des résultats très généraux de finitude du type de Khovanskii. Des exemples précis montrent la généralité de ces hypersurfaces pfaffiennes. Une description complété des bouts de telles variétés en dimension trois est donnée.

Nous considérons un germe $\omega$ de 1-forme analytique dans ${ℝ}^2,0$ dont le 1-jet est $ydy$. Nous montrons que si l’équation $\omega =0$ définit un centre (i.e toutes les courbes solutions sont des cycles) il existe une involution analytique de ${ℝ}^2,0$ préservant le portrait de phase du système. Géométriquement ceci signifie que les centres analytiques nilpotents sont obtenus par image réciproque par des applications pli. Un théorème de conjugaison équivariante permet d’obtenir une classification complète de ces centres.

Le but de cet article est de démontrer deux conditions nécessaires de non existence d’ensemble minimal exceptionnel dans un feuilletage $F$ de codimension 1 d’une variété compacte $M$. La première est métrique ; elle porte sur la croissance des feuilles et elle répond à une conjecture de Plante. La seconde est homotopique, elle porte sur les groupes fondamentaux de $M$ et des feuilles de $F$. De ces deux conditions, nous déduisons deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un feuilletage...

Soit $\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right),x\gg 0$ une solution à l’infini d’une équation différentielle algébrique d’ordre $n$, $P(x,y,y^{\prime },...,y^{\left(n\right)})=0$. Nous donnons un critère géométrique pour que les germes à l’infini de $\varphi$ et de la fonction identité sur $ℝ$ appartiennent à un même corps de Hardy. Ce critère repose sur le concept de non oscillation.

Soit $\omega$ un germe en $0\in {\mathbf{C}}^n$ de 1-forme différentielle holomorphe vérifiant la condition d’intégrabilité $\omega \wedge d\omega =0$. S’il existe un germe $h$ d’application holomorphe de $({\mathbf{C}}^r,0)$ dans $({\mathbf{C}}^n,0)$ qui possède les deux propriétés suivantes : a) $h^{*}\left(\omega \right)$ a une intégrale première formelle, b) la codimension du lieu singulier $S\left(h^{*}\right(\omega \left)\right)$ de $h^{*}\left(\omega \right)$ est supérieure ou égale à 2, alors $\omega$ a une intégrale première holomorphe.