On introduit une classe d’opérateurs intégro-différentiels d’ordre infini, à coefficients méromorphes et pour lesquels les séries majorantes sont de type Dirichlet. On établit des résultats algébriques : caractérisation des éléments inversibles, théorèmes de division et de préparation. En les faisant opérer sur divers espaces de séries et de fonctions on obtient des théorèmes d’indices et des résultats de surjectivité. Après transformation de Mellin ces opérateurs permettent d’étudier les “solutions”...
On commence par présenter une méthode de résolution d’une famille de systèmes fuchsiens d’opérateurs de pseudo-dérivations associées à une famille à deux paramètres d’homographies, qui unifie et généralise les cas connus des systèmes différentiels, aux différences ou aux -différences. Nous traitons ensuite dans cette famille des problèmes de confluence que l’on peut voir comme des problèmes de continuité en ces deux paramètres.
Dans cet article, nous montrons que toute série formelle (en ), toute série de factorielles formelle, solution d’une équation linéaire aux différences finies à coefficients polynômes est Gevrey d’un ordre qui peut se lire sur un, ou plutôt deux, polygone(s) de Newton convenable(s). Nous calculons également l’indice d’un tel opérateur agissant sur des espaces de séries Gevrey factorielles ou ordinaires.
Dans cet article on s’intéresse à la représentation adjointe du tore exponentiel sur l’algèbre de Lie du groupe de Galois différentiel local. Nous proposons un algorithme pour réduire les sous-espaces poids de dimension supérieure à 1 à des sous-espaces de racines. Ce faisant, on construit un tore (en général) maximal qui contient le tore exponentiel. Au cours de ce travail on est amené à étudier la régularité du tore exponentiel dans le groupe de Galois local.
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