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Renverser des ordres totaux sur n éléments, les transformer par une même permutation, voilà des transformations qui ne changent «presque rien» à l’analyse d’un scrutin de type Condorcet. On démontre que ces transformations simples engendrent le groupe des automorphismes du permutoèdre. Ce groupe est isomorphe au produit direct du groupe à deux éléments par le groupe symétrique $S_n$.

Cet article, offert à André Lentin lors du colloque du 23 février 1996 organisé en son honneur, a pour objet de montrer que le treillis étiqueté obtenu à partir de l’ordre faible sur un Coxeter fini $(W,S)$, et le groupe lui-même, peuvent être construits à partir d’un sous-groupe parabolique quelconque $W_J$, du quotient associé $W^J$ et d’une fonction de $W^J\times J$ dans $S\cup \oslash$. Cette méthode permet en particulier la construction par récurrence des groupes et treillis des quatre familles infinies de Coxeter finis irréductibles...

Deux codages sont utilisés sur l’ensemble des permutations ou ordres totaux sur un ensemble fini à $n$ éléments et à chacun de ces codages est associé un produit direct d’ordres totaux. On démontre que le diagramme du treillis permutoèdre (ou ordre de Bruhat faible sur le groupe symétrique $S_n$) est intersection des diagrammes des deux produits directs de $n-1$ ordres totaux à $2,3,...,n$ éléments.