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Une courbe réelle peut avoir des points doubles ordinaires de trois types différents : des points doubles réels à tangentes réelles, des points doubles réels isolés dans le domaine réel et des points doubles imaginaires. Soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,d\ge n\ge 2$ des entiers tels que $\alpha +\beta +2\gamma \le C(d,n)$ (où $C(d,n)$ désigne la borne de Castelnuovo). On construit une courbe réelle irréductible de degré $d$, non dégénérée dans l’espace projectif ${\mathbf{P}}_n$ (i.e. non contenue dans un hyperplan) ayant pour seules singularités $\alpha$ points doubles réels à tangentes réelles,...

Harris et Eisenbud ont trouvé des bornes pour le genre des courbes de degré ${\mathbf{P}}_r$ non contenus dans une surface de degré inférieur à $s$ (avec $s\<2r-2$). On construit ici des courbes rationnelles de genre arithmétique maximum pour $s\<2r-3$, c’est-à-dire possédant un lieu singulier maximum. Nos courbes n’ont que des points multiples ordinaires réels à tangentes réelles et quand c’est possible elles sont nodales.