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Opérateurs différentiels hypoelliptiques

François Trèves — 1959

Annales de l'institut Fourier

On établit une condition suffisante pour qu’un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiable sur un ouvert de R n y soit hypoelliptique. La démonstration, exposée au chapitre III, utilise divers espaces fonctionnels, qui sont étudiés au chapitre I. On prouve que ce critère implique celui de MM. Hörmander et Malgrange, qui affirme l’hypoellipticité des opérateurs formellement hypoelliptiques. Considérons un opérateur différentiel sur R x n , P ( ν , D x ) , dont les coefficients sont constants par...

Équations aux dérivées partielles inhomogènes à coefficients constants dépendant de paramètres

François Trèves — 1963

Annales de l'institut Fourier

On considère un opérateur différentiel linéaire P ( λ , D x ) sur R n dont les coefficients sont constants par rapport au point x de R n mais sont des fonctions complexes C ∞ du point λ d’une variété Λ qui est C ∞ . On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de λ ∈ Λ . Alors (“Théorème des supports”) si ν ( x , λ ) est une distribution sur R n × Λ dont le support se projette sur R n suivant un compact, si C est un compact convexe de R n et F un fermé de Λ , support P ( λ , D x ) ν ( x , λ ) ⊂ C × F ⇒ support ν ( x , λ ) ⊂ C × F . Ce résultat est utilisé...

On the Gevrey hypo-ellipticity of sums of squares of vector fields

Antonio Bove;  François Treves — 2004

Annales de l’institut Fourier

The article studies a second-order linear differential operator of the type - L = X 1 2 + ⋯ + X r 2 , i. e., a sum of squares of real, and real-analytic, vector fields X i . The conjectured necessary and sufficient condition for analytic hypo- ellipticity, based on the Poisson stratification of the characteristic variety, is recalled in simple analytic and geometric terms. It is conjectured that the microlocal Gevrey hypo-ellipticity of L depends on the restrictions of the principal symbol σ L to 2 D or 4 D symplectic...

A necessary condition of local solvability for pseudo-differential equations with double characteristics

Fernando Cardoso;  François Trèves — 1974

Annales de l'institut Fourier

Pseudodifferential operators P ( x , D ) ∼ ∑ j = 0 + ∞ P m - j ( x , D ) are studied, from the viewpoint of local solvability and under the assumption that, micro-locally, the principal symbol factorizes as P m = Q L 2 with Q elliptic, homogeneous of degree m - 2 , and L homogeneous of degree one, satisfying the following condition : there is a point ( x 0 , ξ 0 ) in the characteristic variety L = 0 and a complex number z such that d ξ Re ( z L ) ≠ 0 at ( x 0 , ξ 0 ) and such that the restriction of Im ( z L ) to the bicharacteristic strip of Re ( z L ) vanishes of order k < + ∞ at ( x 0 , ξ 0 ) , changing sign there from minus to...

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