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Cet article établit quelques propriétés des distributions sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$ dont le hessien est une mesure bornée. Après quelques propriétés topologiques – Compacité faible des bornées de $HB\left(\Omega \right)$ lorsque $\Omega$ est borné, densité des fonctions régulières pour une topologie assez finie – on s’intéresse au comportement sur le bord de $\Omega$ lorsque $\partial \Omega$ est assez régulier; pour ce faire, on est amené à étudier celui des fonctions de $W^{2,1}$. On montre enfin dans une 3ème partie des théorèmes d’injection de Sobolev et notamment...

Let Ω be a smooth bounded domain in ${𝐑}^n$, n > 1, let a and f be continuous functions on $\overline{\Omega }$, $1^{☆}=\frac{n}{n-1}$. We are concerned here with the existence of solution in $BV\left(\Omega \right)$, positive or not, to the problem:
 $$\left\{\begin{array}{cccc}\hfill -\mathrm{div}\sigma +a\left(x\right)signu& amp;={f\left|u\right|}^{1^{☆}-2}u\sigma .\nabla u\hfill & amp;=\left|\nabla u\right|\mathrm{in}\Omega u\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{identically}\mathrm{zero},& amp;-\sigma .n\left(u\right)=\left|u\right|\mathrm{on}\partial \Omega .\end{array}\right.$$ This problem is closely related to the extremal functions for the problem of the best constant of $W^{1,1}\left(\Omega \right)$ into $L^{\frac{N}{N-1}}\left(\Omega \right)$.