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Étant donnés $r$ champs de vecteurs $X_1,...,X_r$, réels, de classe $C^{\infty }$ dans ${\mathbf{R}}^n$, nous étudions l’existence de traces sur une variété de classe $C^{\infty }$, de dimension $(n-1)$, frontière d’un ouvert $\Omega$, des distributions $u\in {𝒟}^{\text{'}}\left(\Omega \right)$ telles que: $$u\in L^2\left(\Omega \right);X_{j}u\in L^2\left(\Omega \right),j=1,...,r.$$

Le but de ce travail est d’étudier l’existence, l’unicité et la régularité jusqu’au bord de solutions du problème de Dirichlet pour les opérateurs de la forme $P=\Sigma X_j^2+X_0+c$, qui ont été introduits dans Springer-Verlag, Berlin, 1963 par Lärs Hörmander. Pour cela, nous utilisons, en plus de l’hypothèse de L. Hörmander, une hypothèse de transversalité à la frontière, hypothèse qui permet de démontrer une estimation au bord. Nous étudions en détail l’équation de Kolmogorov: $\frac{\partial }{\partial t}+x\frac{\partial }{\partial y}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$.

Let $\Omega$ an open set in ${\mathbf{C}}^4$ near $z_0\in \partial \Omega$, $\lambda$ a suitable holomorphic function near $z_0$. If we know that we can solve the following problem (see [M. Derridj, Annali. Sci. Norm. Pisa, Série IV, vol. IX (1981)]) : $\bar{\partial }u=\lambda f$, ($f$ is a $(0,1)$ form, $\bar{\partial }$ closed in $U\left(z_0\right)$ in $U\left(z_0\right)$ with supp$\left(u\right)\subset \bar{\Omega }\cap U(z_0)$, then we deduce an extension result for $C.R.$ functions on $\partial \Omega \cap U\left(z_0\right)$, as holomorphic fonctions in $\Omega \cap V\left(z_0\right)$.