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Si dimostra che l’equazione differenziale $$x^{\mathrm{\prime \prime }}+f(x)x^{\prime }+g(t,x)=e(t)$$ con $f(x)$ continua, $g(t,x)$ continua e tale che $g(t,x)=g(t+1,x)$, $e(t)=e(t+1)$ possiede una soluzione periodica di periodo 1 anche nel caso in cui la funzione $$G(t):=\underset{|x|\to +\mathrm{\infty }}{lim\; inf}\frac{g(t,x)}{x}$$ oltrepassa il primo autovalore (o) del problema lineare associato in un insieme di misura non nulla purché $G(t)$ sia ad integrale positivo e il $$\underset{|x|\to +\mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{|g(t,x)|}{|x|}$$ non si avvicini al secondo autovalore $(4{\pi }^2)$

Si dimostra che proiettando su $B=\{x\in X:\parallel x\parallel \le 1\}$, $X$ spazio di Banach di dim ensione non finita, un insieme compatto e convesso si ottiene un aciclico. Usando tale risultato si dimostrano un Teorema di punto fisso per una classe di applicazioni multivoche non compatte definite su B e un'estensione del Teorema di Birkhoff-Kellogg. Si danno alcune applicazioni di tali risultati.

Si dimostra un lemm a sulle trasformazioni, non necessariamente continue,di uno spazio topologico compatto in sè, e se ne dà un'applicazione alla teoria dei punti fissi.

Sia $f:\overline{B}\to E$ una funzione continua, addensante definita nel disco unitario $\overline{B}$ di uno spazio di Banach $E$, e senza punti fissi sulla frontiera $S$ di $\overline{B}$. È noto che in tal caso deg $(I-f)B,0)$ è definito (cfr. Nussbaum, [6]) e se è diverso da zero allora il campo vettoriale $I-f:\overline{B}\to E$, $(I-f)(x)=x-f(x)$, ha almeno un punto singolare $x_0\in B$. Una condizione che implica deg $(I-f,B,0)\ne 0$ è la cosiddetta condizione di Leray-Schauder $$\lambda x=f(x)\mathit{\hspace{1em}}\text{per qualche}\mathit{\hspace{1em}}x\in S\to \lambda \le 1$$ In questo lavoro si dà una condizione più generale di quella di Leray-Schauder. Essa può essere applicata anche quando f è definita...

Sia $D$ il disco unitario di uno spazio di Banach. Si prova che $\partial D$ è un retratto $\alpha$-Lipschitziano di $D$ se e solo se esiste $k>0$ ed un'omotopia $H:\partial D\times [0,1]\to \partial D$ tale che $H(x,0)=x_0$, $H(x,1)=x$ e $\alpha (H(A\times [0,t]))\le tk\alpha (A)$ per ogni $A\subset \partial D$.

Siano $E$, $E$ due spazi di Banach, $f$ e $g:E\to F$ due funzioni continue. In questa Nota preliminare si danno dei criteri per stabilire 1'esistenza di soluzioni dell'equazione $f(x)=g(x)$. In un lavoro di prossima pubblicazione verranno esposte le relative dimostrazioni insieme ad alcune applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.