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Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

Let G be some metabelian 2-group satisfying the condition G/G’ ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. In this paper, we construct all the subgroups of G of index 2 or 4, we give the abelianization types of these subgroups and we compute the kernel of the transfer map. Then we apply these results to study the capitulation problem for the 2-ideal classes of some fields k satisfying the condition $Gal(k{₂}^{\left(2\right)}/k)\simeq G$, where $k{₂}^{\left(2\right)}$ is the second Hilbert 2-class field of k.

Soient $p_1\equiv p_2\equiv 1(mod8)$ des nombres premiers tels que, $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=-1$ et $\left(\frac{2}{a+b}\right)=-1$, où $p_1{p}_2=a^2+b^2$. Soient $i=\sqrt{-1}$, $d=p_1{p}_2$, $𝕜=\mathbb{Q}(\sqrt{d},i)$, ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $𝕜$ et ${𝕜}^{(*)}=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},i)$ le corps de genres de $𝕜$. La 2-partie $C_{𝕜,2}$ du groupe de classes de $𝕜$ est de type $(2,2,2)$, par suite ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ contient sept extensions quadratiques non ramifiées ${𝕂}_j/𝕜$ et sept extensions biquadratiques non ramifiées ${𝕃}_j/𝕜$. Dans ce papier on s’intéresse à déterminer ces quatorze extensions, le groupe $C_{𝕜,2}$ et à étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de $𝕜$ dans ces extensions.

We study the capitulation of $2$-ideal classes of an infinite family of imaginary bicyclic biquadratic number fields consisting of fields $𝕜=\mathbb{Q}(\sqrt{2pq},\mathrm{i})$, where $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ and $p\equiv -q\equiv 1(mod4)$ are different primes. For each of the three quadratic extensions $𝕂/𝕜$ inside the absolute genus field ${𝕜}^{(*)}$ of $𝕜$, we determine a fundamental system of units and then compute the capitulation kernel of $𝕂/𝕜$. The generators of the groups ${\mathrm{Am}}_s(𝕜/F)$ and $\mathrm{Am}(𝕜/F)$ are also determined from which we deduce that ${𝕜}^{(*)}$ is smaller than the relative genus field ${(𝕜/\mathbb{Q}\left(\mathrm{i}\right))}^{*}$. Then we prove that each...