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En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0\<\left|s\right|\le q$, on ait $n+s=\left|s\right|t_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q\>0$ et $k\>0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[-q,q\right]$, on ait $n+s=l{t}_1...t_k$ où $t_1\<...\<t_k$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[1,2q+1\right]$. La lecture non standard...

Let $\mathbb{N}$ be the set of positive integers and let $s\in \mathbb{N}$. We denote by $d^s$ the arithmetic function given by $d^s\left(n\right)={\left(d\left(n\right)\right)}^s$, where $d\left(n\right)$ is the number of positive divisors of $n$. Moreover, for every $\ell ,m\in \mathbb{N}$ we denote by ${\delta }^{s,\ell ,m}\left(n\right)$ the sequence $$\underset{m\text{-times}}{\underbrace{d^s(d^s(...d^s(d^s\left(n\right)+\ell )+\ell ...)+\ell )}}=\left\{\begin{array}{cc}{d}^s\left(n\right)\hfill & \text{for}m=1,\hfill \\ d^s(d^s\left(n\right)+\ell )\hfill & \text{for}m=2,\hfill \\ d^s(d^s(d^s\left(n\right)+\ell )+\ell )\hfill & \text{for}m=3,\hfill \\ ⋮\hfill \end{array}\right.$$ We present classical and nonclassical notes on the sequence ${\left({\delta }^{s,\ell ,m}\left(n\right)\right)}_{m\ge 1}$, where $\ell$, $n$, $s$ are understood as parameters.