La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers

Abdelmadjid Boudaoud[1]

  • [1] Département de Mathématiques Université de M’sila 28000 M’sila ALGÉRIE

Annales mathématiques Blaise Pascal (2006)

  • Volume: 13, Issue: 1, page 103-109
  • ISSN: 1259-1734

Abstract

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As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers q > 0 and k > 0 , the existence of an infinite set L q , k such that, for each n L q , k and every integer s , 0 < s q , we have n + s = s t 1 . . . t k where t 1 < . . . < t k are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set M q , k such that , for each n M q , k and every integer s - q , q (including 0 ), we have n + s = l t 1 . . . t k where t 1 < . . . < t k are prime numbers and l 1 , 2 q + 1 is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.

How to cite

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Boudaoud, Abdelmadjid. "La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers." Annales mathématiques Blaise Pascal 13.1 (2006): 103-109. <http://eudml.org/doc/10524>.

@article{Boudaoud2006,
abstract = {En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q&gt;0$ et $k&gt;0$, il existe une partie infinie $L_\{q,k\}\subset \mathbb\{N\}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_\{q,k\}$ et tout entier $s$ tel que $0&lt;\left|s\right|\le q$, on ait $ n+s=\left|s\right|t_\{1\}...t_\{k\} $ où $t_\{1\}&lt;...&lt;t_\{k\}$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q&gt;0$ et $k&gt;0$, il existe une partie infinie $M_\{q,k\}\subset \mathbb\{N\}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_\{q,k\}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[ -q,q\right] $, on ait $ n+s=lt_\{1\}...t_\{k\} $ où $t_\{1\}&lt;...&lt;t_\{k\}$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[ 1,2q+1\right] $. La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.},
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TY - JOUR
AU - Boudaoud, Abdelmadjid
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PB - Annales mathématiques Blaise Pascal
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AB - En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers $q&gt;0$ et $k&gt;0$, il existe une partie infinie $L_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in L_{q,k}$ et tout entier $s$ tel que $0&lt;\left|s\right|\le q$, on ait $ n+s=\left|s\right|t_{1}...t_{k} $ où $t_{1}&lt;...&lt;t_{k}$ sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers $q&gt;0$ et $k&gt;0$, il existe une partie infinie $M_{q,k}\subset \mathbb{N}$ telle que, pour chacun des entiers $n\in M_{q,k}$ et tout entier $s$ (nul ou non ) de l’intervalle $\left[ -q,q\right] $, on ait $ n+s=lt_{1}...t_{k} $ où $t_{1}&lt;...&lt;t_{k}$ sont des nombres premiers et l’entier $l$ appartient à l’intervalle $\left[ 1,2q+1\right] $. La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.
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KW - Conjecture de Dickson; analyse non standard; nombres premiers; suites d’entiers naturels; Dickson's Conjecture; prime numbers; sequences of integers
UR - http://eudml.org/doc/10524
ER -

References

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  5. Paulo Ribenboim, Nombres premiers : mystères et records, (1994), PUF Zbl0842.11001MR1311480
  6. A. Schinzel, W. Sierpinski, Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185–208 ; erratum 5 (1958) Zbl0082.25802MR106202

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