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Le sujet de cet article est l’étude des solutions continues sur $ℝ$ ou holomorphes sur $ℂ$ à valeurs complexes de systèmes de deux équations aux différences à coefficients polynomiaux $$\sum _{j=0}^{j=J}{a}_j\left(x\right)f(x+{\alpha }_j)=\sum _{k=0}^{k=K}{b}_k\left(x\right)f(x+{\beta }_k)=0.$$ Avec des hypothèses convenables sur les pas des équations (de nature algébrique et géométrique dans le cas complexe), on montre que ces solutions sont des polynômes exponentiels ou des quotients de polynômes exponentiels par des polynômes. Ces résultats prolongent ceux de J.-P. Bézivin et F. Gramain...

Inspiré par un travail de J.-P. Bézivin et F. Gramain sur les systèmes d’équations aux différences, on caractérise les sous-groupes $H$ d’un groupe de Lie réel (resp. complexe) $G$, pour lesquels toute fonction $f:G\to ℂ$ continue (resp. entière) telle que l’ensemble des $H$-translatées engendrent un $ℂ$-espace vectoriel de dimension finie, engendrent aussi un $ℂ$-espace vectoriel de dimension finie par $G$- translation. On fait le lien avec les systèmes d’équations aux différences à coefficients constants.