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Équations de champ moyen pour la dynamique quantique d’un grand nombre de particules

Patrick Gérard (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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L’objet de cet exposé est de montrer comment l’évolution de Schrödinger pour le problème à N corps quantique est approchée, lorsque N tend vers l’infini, dans un régime convenable, par une évolution non-linéaire en dimension trois d’espace. On traitera le cas des bosons, qui conduit à l’équation de Schrödinger-Poisson, et celui des fermions, qui débouche sur le système de Hartree-Fock.

Un modèle jouet pour le transport résonnant

Christophe Pallard (2009-2010)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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On introduit et étudie un modèle jouet inspiré d’une situation de couplage résonnant entre une équation d’ondes et une équation cinétique. Il s’agit d’un travail en collaboration avec P. Gérard [].

Exemples d’instabilités pour des équations d’ondes non linéaires

Guy Métivier (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Le but de l’exposé est de donner un guide de lecture pour un article de Gilles Lebeau où il est montré que le problème de Cauchy pour l’équation d’onde surcritique ( ∂ t 2 - Δ x ) u + u p = 0 est mal posé au sens de Hadamard dans l’espace d’énergie, pour p ≥ 7 en dimension 3. La preuve repose sur des constructions d’optique géométrique et des analyses d’instabilité dans des régimes fortement non linéaires. On donnera les étapes de l’analyse en essayant de les situer dans leur contexte plus général : construction...

Méthodes géométriques dans l’étude des équations d’Einstein

Serge Alinhac (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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L’étude de l’équation des ondes et de ses perturbations a montré l’importance d’un certain nombre d’objets géométriques, tels que les cônes sortants et rentrants, les champs de Lorentz, des repères isotropes adaptés, etc. Parmi les systèmes d’équations hyperboliques non linéaires, les équations d’Einstein jouent un rôle central ; leur étude a nécessité, dans le cas d’un espace-temps courbe, la construction d’objets analogues à ceux du cas plat, cônes, repères adaptés, etc. La construction...

Systèmes hyperboliques et viscosité évanescente

Frédéric Rousset (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Le but de l’exposé est de présenter les résultats obtenus par S. Bianchini et A. Bressan sur le problème de Cauchy pour des perturbations visqueuses ∂ t u ε + ∂ x f ( u ε ) = ε ∂ x x u ε de systèmes strictement hyperboliques ∂ t u + ∂ x f ( u ) = 0 en une dimension d’espace. Ils ont en particulier montré l’existence globale ( t ≥ 0 ), l’unicité et la stabilité des solutions et justifié la convergence quand ε tend vers zéro pour des données initiales à petite variation totale. Leur analyse montre aussi que les solutions du système hyperbolique ainsi...