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Équations de champ moyen pour la dynamique quantique d’un grand nombre de particules

Patrick Gérard (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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L’objet de cet exposé est de montrer comment l’évolution de Schrödinger pour le problème à N corps quantique est approchée, lorsque N tend vers l’infini, dans un régime convenable, par une évolution non-linéaire en dimension trois d’espace. On traitera le cas des bosons, qui conduit à l’équation de Schrödinger-Poisson, et celui des fermions, qui débouche sur le système de Hartree-Fock.

Le système de Born-Infeld élargi : des ondes aux particules et aux cordes

Yann Brenier (2004-2005)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Il est traditionnel de dériver la dynamique classique des particules à partir de solutions oscillantes d’équations d’onde de la mécanique quantique (Schrödinger ou Dirac), en passant à la limite sur la fréquence d’oscillation (méthodes WKB, intégrales de Feynman, phase stationnaire, mesures de Wigner etc...). Le but de l’exposé est de montrer qu’on peut non seulement retrouver ces mouvements, mais aussi ceux de cordes classiques, voire de membranes, d’une facon très différente, à partir...

Ondes progressives pour l’équation de Gross-Pitaevskii

Fabrice Béthuel, Philippe Gravejat, Jean-Claude Saut (2007-2008)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Cet exposé présente les résultats de l’article [] au sujet des ondes progressives pour l’équation de Gross-Pitaevskii : la construction d’une branche d’ondes progressives non constantes d’énergie finie en dimensions deux et trois par un argument variationnel de minimisation sous contraintes, ainsi que la non-existence d’ondes progressives non constantes d’énergie petite en dimension trois.

Sur la stabilité d’une dynamique singulière de vortex

Valeria Banica (2007-2008)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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On étudie la stabilité de la dynamique singulière de vortex filamentaire décrite dans [], qui engendre un coin en temps fini. On montre que sous certaines perturbations petites et régulières, le coin est encore formé. Notre approche utilise le flot binormal et la transformation de Hasimoto. On se ramène aux propriétés de scattering longue portée pour une équation de type Gross-Pitaesvski avec coefficients variables en temps. Ce travail a été obtenu en collaboration avec Luis Vega. ...