In questo articolo studiamo problemi di Dirichlet singolari, lineari e semilineari, della forma ${\left|x\right|}^2\mathrm{\Delta }u=f\left(u\right)$ in $\mathrm{\Omega }$, $u=0$ su $\partial \mathrm{\Omega }$, dove $\mathrm{\Omega }$ è un dominio in ${\mathbb{R}}^2$ e $f\left(u\right)=\lambda u$ o $f\left(u\right)=\lambda u+{\left|u\right|}^{p-2}u$ con $p>2$ (o nonlinearità più generali). In tali problemi bidimensionali emergono alcune difficoltà a causa della non validità della disuguaglianza di Hardy in ${\mathbb{R}}^2$ e a causa delle invarianze dell'equazione $-{\left|x\right|}^2\mathrm{\Delta }u=f\left(u\right)$. Pertanto opportune condizioni su $\lambda$ e $\mathrm{\Omega }$ sono necessarie al fine di garantire l'esistenza di una soluzione positiva. Per esempio, se ${\mathrm{\Gamma }}_0$ è una curva...

In this paper we consider a class of integral functionals whose integrand satisfies growth conditions of the type $$\begin{array}{c}f(x,\eta ,\xi )\ge a\left(x\right)\frac{{\left|\xi \right|}^p}{{(1+|\eta \left|\right)}^{\alpha }}-b_1\left(x\right){\left|\eta \right|}^{{\beta }_1}-g_1\left(x\right),\\ f(x,\eta ,0)\le b_2\left(x\right){\left|\eta \right|}^{{\beta }_2}+g_2\left(x\right),\end{array}$$ where$0\le \alpha <p$, $1\le {\beta }_1<p$, $0\le {\beta }_2<p$, $\alpha +{\beta }_i\le p$, $a\left(x\right)$, $b_i\left(x\right)$, $g_i\left(x\right)$ ($i=1$, $2$) are nonnegative functions satisfying suitable summability assumptions. We prove the existence and boundedness of minimizers of such a functional in the class of functions belonging to the weighted Sobolev space $W^{1,p}\left(a\right)$ , which assume a boundary datum $u_0\in W^{1,p}\left(a\right)\cap L^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Si considera una classe di equazioni ellittiche semilineari su ${\mathbb{R}}^N$ della forma $-\mathrm{\Delta }u+u=a\left(x\right){\left|u\right|}^{p-1}u$ con $p>1$ sottocritico (o con nonlinearità più generali) e $a\left(x\right)$ funzione limitata. In questo articolo viene presentato un risultato di genericità sull'esistenza di infinite soluzioni, rispetto alla classe di coefficienti $a\left(x\right)$ limitati su ${\mathbb{R}}^N$ e non negativi all'infinito.

In this paper we consider two-dimensional quasilinear equations of the form $\text{div}\left(a\left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\right)+f\left(u\right)=0$ and study the properties of the solutions u with bounded and non-vanishing gradient. Under a weak assumption involving the growth of the argument of $\nabla u$(notice that $\text{arg}\left(\nabla u\right)$ is a well-defined real function since $\left|\nabla u\right|>0$ on ${\mathbb{R}}^2$) we prove that $u$ is one-dimensional, i.e., $u=u\left(\nu \cdot x\right)$ for some unit vector $\nu$. As a consequence of our result we obtain that any solution $u$ having one positive derivative is one-dimensional. This result provides...