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Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants

Karim Belabas (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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La composition de Gauss donne une structure de groupe aux orbites de formes quadratiques binaires entières de discriminant D , sous l’action de SL 2 par changement de variable, essentiellement le groupe des classes de l’ordre quadratique de discriminant  D . Les domaines fondamentaux associés permettent calculs explicites et évaluation d’ordres moyens. Je présenterai les lois de composition supérieures découvertes par M. Bhargava à partir de la classification des espaces vectoriels préhomogènes...

Algèbres simples centrales sur les corps de fonctions de deux variables

Jean-Louis Colliot-Thélène (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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À toute classe dans le groupe de Brauer d’un corps F sont associés deux entiers, l’indice (degré d’un corps gauche représentant la classe) et l’exposant (ordre de la classe dans le groupe de Brauer). L’exposant divise l’indice, mais ne lui est pas nécessairement égal. Lorsque F est un corps de nombres, c’est un théorème des années 1930 qu’exposant et indice coïncident. A. J. de Jong (Duke Math. J. 123 (2004) 71-94) a montré récemment qu’ils coïncident aussi lorsque F est un corps de...

Groupes de Galois de corps de type fini

Tamás Szamuely (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Il y a quelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabélienne birationnelle”de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans...

Obstructions au principe de Hasse et à l’approximation faible

Emmanuel Peyre (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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Si un système d’équations polynomiales à coefficients entiers admet une solution dans 𝐐 n , il en admet sur tout complété p -adique ou réel de 𝐐 . La réciproque a été démontrée par Hasse pour les quadriques, mais elle est fausse en général. Une grande partie des contre-exemples connus peuvent être expliqués à l’aide de l’obstruction de Brauer-Manin, basée sur la théorie du corps de classe. Il est donc naturel de se demander si, pour certaines classes de variétés, cette obstruction est la...

De l’application des méthodes valuatives en algèbre différentielle

Guillaume Duval (2008)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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La théorie des valuations née des travaux des géomètres et arithméticiens du XIX ê me siècle, fit une apparition tardive et encore peu connue au XX ê me siècle en algèbre différentielle. Dans cet article, à travers les contributions de nombreux auteurs, nous présentons une synthèse des divers apports de la théorie des valuations à l’étude des équations différentielles. Nous insistons sur le caractère unificateur de la théorie des valuations en illustrant comment elles permettent de mettre en...

Corps -minimaux, en l’honneur de François Lucas

Françoise Delon (2012)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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La classe des constructibles de la géométrie algébrique est close par projection. La théorie des modèles exprime ce fait en disant que les corps algébriquement clos éliminent les quantificateurs dans le langage des anneaux. De façon analogue, les corps algébriquement clos non trivialement valués éliminent les quantificateurs dans le langage des anneaux enrichi de la relation dite de divisibilité v ( x ) ≤ v ( y ) . Cela implique en particulier la «  C -minimalité » : une partie définissable d’un corps...

Puissances binomiales dans un corps cubique

Bernadette Deshommes

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TABLE DES MATIÈRES Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§1. Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§2. Solutions modulo deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19§3. Solutions modulo trois: " ℱ 3 n’a pas la propriété P(R)" . . . . . . . . . . . . 22§4. Solutions modulo trois: " ℱ 3 a la propriété P(R)"...