Displaying similar documents to “Sur les fonctions continues qui prennent chaque leur valeur un nombre fini de fois”

Sur la dérivabilité des fonctions monotones

Alexandre Rajchman, Stanisław Saks (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de donner une démonstration simple et élémentaire au i • téorème de Lebesgue, d'après lequel toute fonction monotone est presque partout dérivable; • théorème de Fubini, d'après lequel une série convergente de fonctions non décroissantes peut être presque partout différentiée terme à terme.

Sur la nature des fonctions à carré sommable et des ensembles mesurables

A. Besikovitch (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Théorème: Quelle que soit une fonction f(x) à carré sommable qu'on suppose définie aux points de l'intervalle (0,1) et nulle ailleurs, l'intégrale q(x) = ∫_0^1 (f(x+α)-f(x-α))/α dα considérée comme lim_{ϵ=0}∫_{ϵ}^1, est finie presque partout dans (0,1) et représente une fonction de x à carré sommable. Le but de cette note est de trouver une limite supérieure pour l'intégrale ∫_0^1[q(x)]^2dx, et de donner une démonstration du théoreme cité, en se servant d'une méthode des variables réelles...

Sur les fonctions de classe 1

Stefan Mazurkiewicz (1921)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de trouver la solution de problème suivant: Problème: Peut on représenter toute fonction de classe 1 par une différence des deux fonctions semi-continues supérieurement? et de démontrer le théorème general: Théorème: Prémisse: f(x) est une fonction bornée de classe 1 dans un intervalle I. Thèse: Pour tout nombre ϵ > 0 il existe deux fonctions G_1(x), G_2(x) semicontinues supérieurement dans I et telles que: |f(x)-[G_1(x)-G_2(x)]| ≤ ϵ x ⊂ I.

Un lemme métrique

Wacław Sierpiński (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le lemme: Lemme: Soit E un ensemble linéaire borné et soit ℱ une famille d'intervalles, telle que tout point x de E est une extrémité gauche d'un au moins intervalle δ(x) de famille ℱ. Thèse: ϵ étant un nombre positif donné quelconque, il existe toujours un nombre fini N=N(ϵ) d'intervalles δ(x_1), δ(x_2),...,δ(x_N) de la famille ℱ, n'empiétant pas les uns sur les autres et tels que la mesure extérieure (lebesguienne) de l'ensemble de ces points de...

Sur un théorème de M. Lusin

Stanisław Saks (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Monsieur Lusin a démontre que l'ensemble des valeurs admises par une fonction aux points ou la dérivée unique existe et égale à 0, est de mesure nulle. Le but de cette note est de prouver qu'on peut remplacer dans l'énonce cite le mot "dérivée unique", par "un nombre dérivé quelconque de Dini".

Sur un problème de la théorie de la mesure. II

D. Mirimanoff (1923)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de généraliser les résultats établis dans la note: "Sur un problème de la théorie de la mesure. I", publiée dans ce journal.