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Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)

Stefan Banach (1920)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer que toute fonction mesurable f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y) est continue (donc, d'après Cauchy, de la forme Ax).

Problèmes

Nicolas Lusin, Wacław Sierpiński, Paul Urysohn, Hugo Steinhaus, Stanisław Ruziewicz, Alfred Tajtelbaum-Tarski (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Démonstration de quelques théorèmes fondamentaux sur les fonctions mesurables

Wacław Sierpiński (1922)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de donner des démonstrations simples et naturelles des des théorèmes connus de Borel, Fréchet, Vitali et Lusin sur le fonctions mesurables et d'établir dans le même ordre d'idées un résultat nouveau, notamment que: pour toute fonction mesurable presque partout finie f(x) il existe deux fonctions semicontinues supérieurement et presque partout finie, dont la différence est presque partout égale à f(x).

Sur une propriété des fonctions de M. Hamel

Wacław Sierpiński (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant suggeré par Monsieur Nikodym: Théorème: Une fonction discontinue d'une variable réelle f(x) satisfaisant à l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y), ne peut être majorée par aucune fonction mesurable.

Sur l'équation fonctionnelle f(x) + f(x+y)

Stanisław Kaczmarz (1924)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est l'étude de l'équation fonctionnelle f(x)+f(x+y)= φ(y)f(x+y/2) où φ (x) est regardée comme une fonction donnée, et f(x) comme l'inconnue.

Sur l'ensemble de distances entre les points d'un ensemble

Wacław Sierpiński (1925)

Fundamenta Mathematicae

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Le but de cette note est de de prover que si E (ensemble donné de points situé dans l'espace à m dimension) est un ensemble mesurable (B), D(E) (ensemble de toutes les distances entre deux points quelconques de l'ensemble E) est mesurable (L), amis pas nécessairement mesurable (B).