We prove an existence result for equations of the form where the coefficients $a_{ij}(x,s)$ satisfy the usual ellipticity conditions and hypotheses weaker than the continuity with respect to the variable $s$. Moreover, we give a counterexample which shows that the problem above may have no solution if the coefficients $a_{ij}(x,s)$ are supposed only Borel functions

Se il problema di minimo $({𝒫}_{\mathrm{\infty }})$ è il limite, in senso variazionale, di una successione di problemi di minimo con ostacoli del tipo $$\underset{u\ge {\psi }_h}{\min }{\int }_A\left[f_h(x,u,Du)+b(x,u)\right]dx,$$ allora $({𝒫}_{\mathrm{\infty }})$ può essere scritto nella forma $$\underset{u}{\min }\left\{{\int }_A\left[f_{\mathrm{\infty }}(x,u,Du)+b(x,u)\right]dx+{\int }_A{g}_{\mathrm{\infty }}(x,\tilde{u}(x))d{\lambda }_{\mathrm{\infty }}(x)\right\}$$ dove $\tilde{u}$ è un conveniente rappresentante di $u$ e ${\lambda }_{\mathrm{\infty }}$ è una misura non negativa.

Diamo condizioni sulle funzioni $f$, $g$ e sulla misura $\mu$ affinché il funzionale $$F(u)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x,u,Du)dx+{\int }_{\overline{\mathrm{\Omega }}}g(x,u)d\mu$$ sia $L^1(\mathrm{\Omega })$-semicontinuo inferiormente su $W^{1,1}(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\overline{\mathrm{\Omega }})$. Affrontiamo successivamente il problema del rilassamento.

Si dimostra che il funzionale ${\int }_{\mathrm{\Omega }}f(u,Du)dx$ è semicontinuo inferiormente su $W_{loc}^{1,1}(\mathrm{\Omega })$, rispetto alla topologia indotta da $L_{loc}^1(\mathrm{\Omega })$, qualora l’integrando $f(s,p)$ sia una funzione non-negativa, misurabile in $s$, convessa in $p$, limitata nell’intorno dei punti del tipo $(s,0)$, e tale che la funzione $s\mapsto f(s,0)$ sia semicontinua inferiormente su $𝐑$.

In questa Nota si dimostra un risultato enunciato nel § 5 della pubblicazione [4]. Per le soluzioni di un sistema ellittico base, con non-linearità $q\ge 2$, vale un principio di massimo analogo a quello dimostrato in [3] nel caso di non-linearità $q=2$.

Si determinano alcune restrizioni sulle possibili cardinalità dei modelli di teorie in logiche soddisfacenti alcune proprietà di compattezza. Si dà una caratterizzazione delle logiche $[\lambda ,\mu ]$-compatte generate da quantificatori di cardinalità. Si stabilisce che il primo cardinale $k$ tale che una logica è $(k,k)$-compatta è debolmente inaccessibile e soddisfa la proprietà dell'albero. Dai risultati enunciati appare un raffronto assai particolareggiato fra i due concetti di $(\lambda ,\mu )$-compattezza e $[\lambda ,\mu ]$-compattezza. ...

L’equazione $u_{tt}={\sum }_{ij=1}^n{(a_{ij}(x,t)u_{x_j})}_{x_i}$ in condizioni di debole iperbolicità $\left({\sum }_{ij=1}^n{a}_{ij}(x,t){\xi }_i{\xi }_j\ge 0\right)$, è ben posta negli spazi di Gevrey ${\gamma }_{loc}^{(s)}$ con , purché $a_{ij}$ sia di Gevrey in $x$ di ordine $s$ e risulti $$\left[\sum _{ij=1}^n{a}_{ij}(x,t){\xi }_i{\xi }_j\right]{}^{1/\sigma }\in BV([0,T]:{𝐋}_{loc}^{\mathrm{\infty }})$$

Ogni spazio di Banach ha un sistema bibasico $(x_n,f_n)$ normalizzato; inoltre ogni successione $(x_n)$ uniformemente minimale appartiene ad un sistema biortogonale limitato $(x_n,f_n)$, dove $(f_n)$ è M-basica e normante.

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti $u\in 𝐂([0,T],E)$ dell'equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)-A(t)u(t)=f(t)$ con il dato iniziale $u(0)=x$, in uno spazio di Banach $E$. Gli operatori $A(t)$ sono generatori infinitesimali di semi-gruppi analitici ed hanno dominio indipendente da $t$ e non necessariamente denso in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità hölderiana della soluzione e della sua derivata.

Si considerano due spazi $S_{\mu }$ e $S_{\nu }^{\ast }$, Riemanniani e a metrica eventualmente indefinita, riferiti a sistemi di co-ordinate $\mathrm{\varnothing }$ e ${\mathrm{\varnothing }}_{\nu }^{\ast }$; e inoltre un doppio tensore $T_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}$ associato ai punti ${\mathrm{\varnothing }}^{-1}(x)\in S_{\mu }$ e ${\mathrm{\varnothing }}^{\ast -1}(y)\in S^{\ast }$. Si pensa $T_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}$ dato da una funzione ${\tilde{T}}_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}$ di $m$ altri tali doppi tensori e di variabili puntuali $x(\in {\mathrm{\Re }}^{\mu })$, $t\in \mathrm{\Re }$ e $y(\in {\mathrm{\Re }}^{\nu })$; poi si considera la funzione composta $${\widehat{T}}_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}(x,t,y)={\tilde{T}}_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}[\underset{1,\mathrm{\dots },m}{\underbrace{{\breve{H}}_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}(x,t,y),\mathrm{\dots },{\breve{H}}_{\mathrm{\cdots }}^{\mathrm{\cdots }}(x,t,y)}},x,t,y].$$ Nella Parte I si scrivono due regole per eseguire la derivazione totale di questa, connessa con una mappa $\widehat{ℰ}$ $(={\widehat{ℰ}}_t)$ fra $S_{\nu }^{\ast }$ e $S_{\mu }$; una è a termini generalmente non covarianti...

In the present paper the author discusses certain multiple integrals $I(u)$ of the calculus of variations satisfying convexity conditions, and no growth property, and the corresponding Serrin integrals $\Im (u)$, to which the existence theorems in [3,4,5] do not apply. However, in the present paper, the integrals $I(u)$ and $\Im (u)$ are reduced to simpler form $H(v)$ and $\mathscr{H}(v)$ to which the existence theorems above apply. Thus, we derive that $I(u)\le \Im (u)$, $H(v)\le \mathscr{H}(v)$, we obtain the existence of the absolute minimum for the Serrin forms $\Im (u)$...

Sfruttando i risultati di [1], si prova che le derivate spaziali $D^{\alpha }u$ di ordine $|\alpha |$ con delle soluzioni in $Q$ di un sistema parabolico quasilineare di ordine $2m$ con andamenti strettamente controllati, sono parzialmente hölderiane in $Q$ con esponente di hölderianità decrescente al crescere di $|\alpha |$.

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti dell’equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)\mathrm{—}A(t)u(t)=f(t)$, con il dato iniziale $u(0)=x$, in spazi di Banach. I dominii degli operatori $A(t)$ variano in $t$ e non sono necessariamente densi in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità holderiana della soluzione e della sua derivata.

Scopo della presente Nota è quello di fornire una maggiorazione della lunghezza $b-a$ dell'intervallo $[a,b]$ sul quale il problema (1) (2) (3) ammette soltanto la soluzione nulla.

In [1] I and II various equivalence theorems are proved; e.g. an ODE $(ℰ)\dot{z}=F(t,z,u,\dot{u})(\in {ℝ}^m)$ with a scalar control $u=u(\cdot )$ is linear w.r.t. $\dot{u}$ iff $(\alpha )$ its solution $z(u,\cdot )$ with given initial conditions (chosen arbitrarily) is continuous w.r.t. $u$ in a certain sense, or iff $(\beta )$ $z(u,\cdot )$ satisfies certain conditions by which $1^{st}$-order discontinuities of $u$ and $\dot{u}$ can be treated satisfactorily. In the case when, for $z=(q,p)$ equation $(ℰ)$ is a semi-Hamiltonian system, equivalent to a system of Lagrangian equations of a general type,...

Per ogni soluzione della (1) nel dominio limitato $\mathrm{\Omega }$,, appartenente a $H_0^2(\mathrm{\Omega })$ e soddisfacente le condizioni (2), si dimostra la maggiorazione (5), valida nell'intorno di ogni punto $x^0$ del contorno; si consente a $\partial \mathrm{\Omega }$ di essere singolare in $x^0$.

We prove the existence of distributional solutions to an elliptic problem with a lower order term which depends on the solution $u$ in a singular way and on its gradient $Du$ with quadratic growth. The prototype of the problem under consideration is where $\lambda >0$, $k>0$; $f(x)\in L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, $f(x)\ge 0$ (and so $u\ge 0$). If , we prove the existence of a solution for both the "+" and the "-" signs, while if $k\ge 1$, we prove the existence of a solution for the "+" sign only.

Si dà una condizione sufficiente per la esistenza di una soluzione in uno spazio di Gevrey ${\mathrm{\Gamma }}^d({𝐑}^{𝐧})$, $d$ razionale $\ge 1$, $n\ge 2$, di una equazione lineare a derivate parziali a coefficienti costanti $P(D)u=f$, quando $f\in {\mathrm{\Gamma }}^d({𝐑}^{𝐧})$. La dimostrazione completa dei risultati ottenuti è contenuta in una nota dell’autore in corso di pubblicazione su "Astérisque".

Let $\mathrm{\Sigma }$ be a constrained mechanical system locally referred to state coordinates $(q^1,\mathrm{\dots },q^N,{\gamma }^1,\mathrm{\dots },{\gamma }^M)$. Let $({\tilde{\gamma }}^1\mathrm{\dots }{\tilde{\gamma }}^M)(\cdot )$ be an assigned trajectory for the coordinates ${\gamma }^{\alpha }$ and let $u(\cdot )$ be a scalar function of the time, to be thought as a control. In [4] one considers the control system ${\mathrm{\Sigma }}_{\widehat{\gamma }}$, which is parametrized by the coordinates $(q^1,\mathrm{\dots },q^N)$ and is obtained from $\mathrm{\Sigma }$ by adding the time-dependent, holonomic constraints ${\gamma }^{\alpha }={\widehat{\gamma }}^{\alpha }(t):={\tilde{\gamma }}^{\alpha }(u(t))$. More generally, one can consider a vector-valued control $u(\cdot )=(u^1,\mathrm{\dots },u^M)(\cdot )$ which is directly identified with $\widehat{\gamma }(\cdot )=({\widehat{\gamma }}^1,\mathrm{\dots },{\widehat{\gamma }}^M)(\cdot )$. If one denotes the momenta...

Let $F\subset C^{\ast }(X)$ be a vector sublattice over $ℝ$ which separates points from closed sets of $X$. The compactification $e_{F}X$ obtained by embedding $X$ in a real cube via the diagonal map, is different, in general, from the Wallman compactification $\omega (Z(F))$. In this paper, it is shown that there exists a lattice $F_z$ containing $F$ such that $\omega (Z(F))=\omega (Z(F_z))=e_{F}X$. In particular this implies that $\omega (Z(F))\ge e_{F}X$. Conditions in order to be $\omega (Z(F))=e_{F}X$ are given. Finally we prove that, if $\alpha X$ is a compactification of $X$ such that $C{l}_{\alpha X}(\alpha X\setminus X)$ is $0$-dimensional, then there is an...

In questa Nota, dati uno spazio metrico perfetto $X$ ed un suo sottoinsieme $K$ chiuso e raro, si dimostra l'esistenza di una funzione continua $f:X\to [0,1]$ tale che $int(f^{-1}(t))=\mathrm{\varnothing }$ per ogni $t\in [0,1]$, $f(x)=0$ per ogni $x\in K$ e $f(y)=1$ per qualche $y\in X\setminus K$. In particolare, ciò permette di dare risposta simultaneamente a due questioni poste in [2]. Si mettono in evidenza, poi, ulteriori conseguenze di tale risultato.

In this paper we study local regularity for the generalized solution to the Dirichlet problem related to the equation $$Lu\equiv X_i^{*}(a_{ij}{X}_{j}u)=f.$$ where $X_1,X_2,\mathrm{\dots },X_m$ are vector fields satisfying Hörmander condition and $a_{ij}\in L^{\mathrm{\infty }}$. We give a representation formula for the generalized solution in terms of the Green function and thanks to suitable estimates we achieve our goal. In the case $f\ge 0$ we are able to give necessary condition too.

In questa Nota si dimostra un risultato enunciato nel § 5 della pubblicazione [4]. Per le soluzioni di un sistema ellittico base, con non-linearità $q\ge 2$, vale un principio di massimo analogo a quello dimostrato in [3] nel caso di non-linearità $q=2$.

Sia ${ℬ}_n$ un sistema linearmente viscoelastico, omogeneo ed isotropo, caratterizzato dalla funzione di memoria $g_n(t)={\sum }_{k=1}^n{B}_k\exp (-{\beta }_{k}t)$, tipica di numerosi polimeri solidi. Si dimostra che la soluzione fondamentale $E_n$ dell’operatore integrodifferenziale che descrive i moti di ${ℬ}_n$ è, in ogni punto del suo supporto, maggiorata da quella relativa ad un opportuno solido standard ${ℬ}_1$ Di conseguenza, è possibile applicare all’analisi qualitativa dei moti di ${ℬ}_n$ alcuni risultati stabiliti in [10], quali proprietà asintotiche,...

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione ${(K+H)}^2$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza $${(K+H)}^2\ge 0$$, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime }$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio ${𝒪}_s(K+H)$. La dimostrazione...

Viene studiata la semicontinuità rispetto alla topologia di $L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega };{𝐑}^m)$ per alcuni funzionali del Calcolo delle Variazioni dipendenti da funzioni a valori vettoriali.

We consider the homogeneous Dirichlet problem for nonlinear elliptic equations as $$-\mathrm{div}a(x,\nabla u)=b(x,\nabla u)+\mu$$ where $\mu$ is a measure with bounded total variation. We fix structural conditions on functions $a$, $b$ which ensure existence of solutions. Moreover, if $\mu$ is an $L^1$ function, we prove a uniqueness result under more restrictive hypotheses on the operator.

We prove that any elliptic operator of second order in variational form is the infinitesimal generator of an analytic semigroup in the functional space $C^{-1,\alpha }(\mathrm{\Omega })$ consinsting of all derivatives of hölder-continuous functions in $\mathrm{\Omega }$ where $\mathrm{\Omega }$ is a domain in ${ℝ}^n$ not necessarily bounded. We characterize, moreover the domain of the operator and the interpolation spaces between this and the space $C^{-1,\alpha }(\mathrm{\Omega })$. We prove also that the spaces $C^{-1,\alpha }(\mathrm{\Omega })$ can be considered as extrapolation spaces relative to suitable non-variational...

Si considera l’equazione astratta $B{A}_{1}u+A_{0}u=h$, dove $A_i$ $(i=0,1)$ e $B$ sono convenienti operatori lineari chiusi fra spazi di Banach, $A_i$ non è necessariamente invertibile, e $A_0$, $A_1$ non commutano con $B$. Si studiano esistenza ed unicità delle soluzioni. Si indicano alcune applicazioni a certe equazioni differenziali degeneri o singolari.

Se $A$ è un operatore in uno spazio di Hilbert e $V$ è un sotto insieme di questo spazio, in molti problemi si è indotti a modificare $A$ sul «bordo» di $V$ in modo da ottenere un operatore $A$ tale che le soluzioni dell'equazione differenziale associata $$0\in U^{\prime }+\tilde{A}(U)$$ non escano da $V$. Se $V$ non è convesso, l'operatore $A$ non rientra nei casi classici esaminati, ad esempio, in [1]. In questo lavoro introduciamo alcune classi di operatori che contengono, in qualçhe caso significativo, quelli del genere sopra...

Per ogni soluzione della (1) nel dominio limitato $\mathrm{\Omega }$,, appartenente a $H_0^2(\mathrm{\Omega })$ e soddisfacente le condizioni (2), si dimostra la maggiorazione (5), valida nell'intorno di ogni punto $x^0$ del contorno; si consente a $\partial \mathrm{\Omega }$ di essere singolare in $x^0$.

Si stabiliscono due condizioni sufficienti per un germe di ipersuperficie reale di classe $c^{\mathrm{\infty }}$ in ${𝐂}^n$ affinchè esistano coordinate olomorfe rispetto alle quali l'ipersuperficie risulti essere il luogo di zeri di una funzione di variabili e $k$ sia minimale rispetto a questa proprietà. In altre parole si vuole che l'ipersuperficie, a meno di una trasformazione bi-olomorfa, sia l’unione di sottovarietà lineari complesse, parallele di dimensione $n\mathrm{—}k$.

See Summary in Note I. First, on the basis of some results in [2] or [5]-such as Lemmas 8.1 and 10.1-the general (mathematical) theorems on controllizability proved in Note I are quickly applied to (mechanic) Lagrangian systems. Second, in case $\mathrm{\Sigma }$, $\chi$ and $M$ satisfy conditions (11.7) when $𝒬$ is a polynomial in $\dot{\gamma }$, conditions (C)-i.e. (11.8) and (11.7) with $𝒬\equiv 0$-are proved to be necessary for treating satisfactorily $\mathrm{\Sigma }$'s hyper-impulsive motions (in which positions can suffer first order discontinuities)....

Vengono dati nuovi teoremi di regolarità per le soluzioni dell'equazione $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+f(t)$ nel caso in cui $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach $E$ e $f$ è una funzione continua.

Dato un cono $V$ aperto non vuoto, convesso, regolare e affinemente omogeneo in uno spazio vettoriale reale $W$ di dimensione finita si prova che per ogni $v$ appartenente a $V$ esiste un diffeomorfismo $E_v:W\to V$ che soddisfa le condizioni seguenti E1) $E_v(0)=v$; E2) $det(d{E}_v(y))={\mathrm{\Phi }}_V{(E_v(y))}^{-1}$ per ogni $y$ appartenente a $W$ ove ${\mathrm{\Phi }}_V:V\to {𝐑}^{+}$ è la funzione caratteristica di $V$.

Si studiano le proprietà delle soluzioni dell'equazione semilineare astratta $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+\phi (t,u(t))$ quando $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach. Vengono provati nuovi teoremi di regolarità anche nel caso in cui $\phi$ non è continuo in tutto lo spazio.

Dati due elementi $f$ e $g$ in un'algebra uniforme $A$, sia $G=f(M_A/f({\partial }_A)$. Nella presente Nota si danno, fra l’altro, due nuove dimostrazioni elementari del fatto che la funzione $\lambda \to \log \max g(f^{-1}(\lambda ))$ è subarmonica su $G$ e che l’applicazione $\lambda \to g(f^{-1}(\lambda ))$ è analitica nel senso di Oka.

Siano $X$ una varietà algebrica proiettiva complessa non singolare tridimensionale, $L$ un fibrato lineare ampio su $X$, e $n\ge 2$ un intero. Si prova che, a meno di contrarre un numero finito di $-1$-piani di $X$, il fibrato $K_X\otimes L^n$ è ampio ad eccezione di alcuni casi esplicitamente descritti. Come applicazione si dimostra l'ampiezza del divisore di ramificazione di un qualunque rivestimento di ${𝐏}^3$ o della quadrica liscia di ${𝐏}^4$.

The semilinear differential equation (1), (2), (3), in $ℝ\times \mathrm{\Omega }$ with $\mathrm{\Omega }\in {ℝ}^N$, (a nonlinear wave equation) is studied. In particular for $\mathrm{\Omega }={ℝ}^3$, the existence is shown of a weak solution $u(t,x)$, periodic with period $T$, non-constant with respect to $t$, and radially symmetric in the spatial variables, that is of the form $u(t,x)=\nu (t,|x|)$. The proof is based on a distributional interpretation for a linear equation corresponding to the given problem, on the Paley-Wiener criterion for the Laplace Transform, and on the alternative...

Si stabiliscono due condizioni sufficienti per un germe di ipersuperficie reale di classe $c^{\mathrm{\infty }}$ in ${𝐂}^n$ affinchè esistano coordinate olomorfe rispetto alle quali l'ipersuperficie risulti essere il luogo di zeri di una funzione di variabili e $k$ sia minimale rispetto a questa proprietà. In altre parole si vuole che l'ipersuperficie, a meno di una trasformazione bi-olomorfa, sia l’unione di sottovarietà lineari complesse, parallele di dimensione $n\mathrm{—}k$.

Sfruttando i risultati di [1], si prova che le derivate spaziali $D^{\alpha }u$ di ordine $|\alpha |$ con delle soluzioni in $Q$ di un sistema parabolico quasilineare di ordine $2m$ con andamenti strettamente controllati, sono parzialmente hölderiane in $Q$ con esponente di hölderianità decrescente al crescere di $|\alpha |$.