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Compléments à la théorie de J. Deny

Marcel Brelot (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Quelques autres démonstrations d’un point essentiel de la théorie précédente, mais surtout extension systématique de la théorie au cas de l’espace rendu compact par adjonction d’un point à l’infini m . On raisonne sur un compact E qui peut alors contenir m et on utilise des potentiels - h a a joue le rôle de m pour le potentiel ordinaire, ce qui permet une étude générale plus symétrique. D’autres compléments sont donnés montrant dans un cas simple qu’il faudrait approfondir, la possibilité...

Systèmes totaux de fonctions harmoniques

Jacques Deny (1949)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien R m ( m 2 ) le point courant x à distance | x | de l’origine, un compact E et la fonction harmonique fondamentale h ( x ) valant - log | x | ( m = 2 ) ou | x | 2 - m ( m > 2 ) . Si H n est tout polynôme harmonique homogène de degré n , on pose Φ n a ( x ) = H n ( x - a ) | x - a | 2 n + m - 2 ( n 1 ) , Φ 0 a ( x ) = H 0 h ( x - a ) ( H 0 = C te ) et Φ n ( x ) = H n ( x ) ( n 0 ) . L’auteur caractérise de diverses...

Sur la fonction de Green pour un domaine fin

Bent Fuglede (1975)

Annales de l'institut Fourier

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Dans le cadre axiomatique de M. Brelot et R.-M. Hervé (cas A 2 y compris l’axiome de domination) on montre que, pour tout domaine U par rapport à la topologie fine et pour tout point y U , la fonction (“fine ”) de Green pour U à pôle y est caractérisée (à un facteur constant près) comme un potentiel fin > 0 relatif à U qui est finement harmonique dans U { y } .

Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier

Marcel Brelot (1949)

Annales de l'institut Fourier

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D’après le développement classique d’une fonction harmonique u de l’espace à τ dimensions au voisinage d’un point O (ce point exclu), on sait que la limitation de croissance en moyenne du type : r λ 𝔐 u + r = o ( r ) ou o ( r ) ( λ > τ - 2 ) entraîne la même limitation vraie pour u + (et même | u | ) par disparition dans le développement des termes de croissance plus rapide. L’auteur avait montré (Act. sc. ind. no 139 (1934)) que ce passage de 𝔐 u + à u + s’étend à u sousharmonique admettant une (au voisinage de O , O ...

À propos d'un mémoire récent de M. Brelot

Albert Pfluger (1950)

Annales de l'institut Fourier

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u étant une fonction sous-harmonique au voisinage de l’infini, une limitation de la croissance des moyennes de u + sur des sphères concentriques entraîne une limitation analogue de la fonction u + elle-même. Ce fait se démontre facilement par le principe de la majorante harmonique en utilisant l’intégrale de Poisson.

Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques

Bent Fuglede (1974)

Annales de l'institut Fourier

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On montre d’abord que toute fonction finement [hyper]harmonique dans un ouvert du plan R 2 est [hyper]harmonique au sens ordinaire. On utilise pour cela un nouveau principe de minimum pour un domaine borné, U , du plan, avec des limites fines à la frontière, mais sans aucune hypothèse de minoration pour la fonction hyperharmonique donnée, u , dans U . Puis on étend ce dernier principe au cas de U finement ouvert (et borné) et u finement hyperharmonique. Aucun de ces résultats ne s’étend aux...