On considère un opérateur différentiel linéaire $P(\lambda ,D_x)$ sur ${\mathbf{R}}^n$ dont les coefficients sont constants par rapport au point $x$ de ${\mathbf{R}}^n$ mais sont des fonctions complexes $C^{\infty }$ du point $\lambda$ d’une variété $\Lambda$ qui est $C^{\infty }$. On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de $\lambda \in \Lambda$. Alors (“Théorème des supports”) si $\nu (x,\lambda )$ est une distribution sur ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont le support se projette sur ${\mathbf{R}}^n$ suivant un compact, si $C$ est un compact convexe de ${\mathbf{R}}^n$ et $F$ un fermé de $\Lambda$, $$\mathrm{support}P(\lambda ,D_x)\nu (x,\lambda )\subset C\times F\Rightarrow \mathrm{support}\nu (x,\lambda )\subset C\times F.$$ Ce résultat...

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.

On établit une condition suffisante pour qu’un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiable sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ y soit hypoelliptique. La démonstration, exposée au chapitre III, utilise divers espaces fonctionnels, qui sont étudiés au chapitre I. On prouve que ce critère implique celui de MM. Hörmander et Malgrange, qui affirme l’hypoellipticité des opérateurs formellement hypoelliptiques. Considérons un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}_x^n$, $P(\nu ,D_x)$, dont les coefficients sont...

Soit $\Omega$ un ouvert quelconque connexe de ${\mathbf{R}}^n$. Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $\Omega$, séparé et complet. On désigne par $B{L}_m\left(E\right)$ l’espace des distributions sur $\Omega$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$. Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E=L^2\left(\Omega \right)$, on écrit $BL=BL\left(\Omega \right)$ au lieu de $B{L}_1(L^2\left(\Omega \right))$. La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B{L}_1\left(E\right)$ ; la seconde associe à toute fonction $F\in BL\left(\Omega \right)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure...

Soient $\Omega$ un domaine borné de $R^n$ et $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ l’adhérence de $𝒟\left(\Omega \right)$ dans l’espace $W^{1,2}\left(\Omega \right)$ des fonctions qui $\in L^2\left(\Omega \right)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega$, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega$ par une fonction $\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega$. Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un...