Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-{\sum }_i\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\sum }_j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)=0$

Hervé, Rose-Marie. "Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$." Annales de l'institut Fourier 14.2 (1964): 493-507. <http://eudml.org/doc/73848>.

@article{Hervé1964,
abstract = {Soient $\Omega $ un domaine borné de $R^n$ et $W^\{1,2\}_0(\Omega )$ l’adhérence de $\{\cal D\}(\Omega )$ dans l’espace $W^\{1,2\}(\Omega )$ des fonctions qui $\in L^2(\Omega )$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega $, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega $ par une fonction $\in W^\{1,2\}_0(\Omega )$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega $.Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque. On utilise alors le principe du maximum ci-dessus pour montrer que, si la donnée est la trace sur $\partial \Omega $ d’une fonction $F$ continue sur $\overline\{\Omega \}$ et $\in W^\{1,2\}(\Omega )$, alors la solution du problème de Dirichlet dans $\Omega $ est la solution $u$ de $Lu=0$ dans $\Omega $ telle que $F-u \in W^\{1,2\}_0(\Omega )$.},
author = {Hervé, Rose-Marie},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {partial differential equations},
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volume = {14},
year = {1964},
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TY - JOUR
AU - Hervé, Rose-Marie
TI - Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1964
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 14
IS - 2
SP - 493
EP - 507
AB - Soient $\Omega $ un domaine borné de $R^n$ et $W^{1,2}_0(\Omega )$ l’adhérence de ${\cal D}(\Omega )$ dans l’espace $W^{1,2}(\Omega )$ des fonctions qui $\in L^2(\Omega )$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega $, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega $ par une fonction $\in W^{1,2}_0(\Omega )$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega $.Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque. On utilise alors le principe du maximum ci-dessus pour montrer que, si la donnée est la trace sur $\partial \Omega $ d’une fonction $F$ continue sur $\overline{\Omega }$ et $\in W^{1,2}(\Omega )$, alors la solution du problème de Dirichlet dans $\Omega $ est la solution $u$ de $Lu=0$ dans $\Omega $ telle que $F-u \in W^{1,2}_0(\Omega )$.
LA - fre
KW - partial differential equations
UR - http://eudml.org/doc/73848
ER -