A non probabilistic proof of the relative Fatou theorem

J. L. Doob

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Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals

J. L. Doob (1962)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur étudie dans un espace de Green (en particulier un domaine borné de $R^{n}$ ) les fonctions $B L D$ (limites en un certain sens des fonctions assez régulières à intégrale de Dirichlet finie). On se ramène au cas harmonique montré qu’une telle fonction harmonique $u$ est solution d’un problème de Dirichlet-Martin (c’est-à-dire correspond à une donnée $u^{'}$ sur la frontière de Martin), ce qui entraîne l’existence d’une limite “fine” $u^{'}$ p.p. Cela résulte de travaux antérieurs et de la remarque que...

Boundary behaviour of harmonic functions in a half-space and brownian motion

D. L. Burkholder, Richard F. Gundy (1973)

Annales de l'institut Fourier

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Let $u$ be harmonic in the half-space $R_{+}^{n + 1}$ , $n \geq 2$ . We show that $u$ can have a fine limit at almost every point of the unit cubs in $R^{n} = \partial R_{+}^{n + 1}$ but fail to have a nontangential limit at any point of the cube. The method is probabilistic and utilizes the equivalence between conditional Brownian motion limits and fine limits at the boundary. In $R_{+}^{2}$ it is known that the Hardy classes $H^{p}$ , $0 < p < \infty$ , may be described in terms of the integrability of the nontangential maximal function, or, alternatively, in terms...

$ℋ^{p}$ -spaces of harmonic functions

Linda Lumer-Naïm (1967)

Annales de l'institut Fourier

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Sous les hypothèses standard de l’axiomatique Brelot, étude de classes de fonctions harmoniques complexes définies comme les classes de Hardy classiques. Caractérisation comme solutions de problèmes de Dirichlet avec la frontière minimale, les filtres fins, et données-frontière dans $L^{p}$ , pour $1 < p \leq + \infty$ , comme intégrales de mesures complexes finies sur la frontière minimale, pour $p = 1$ . Existence presque-partout à la frontière minimale d’une limite fine finie $\in L^{p}$ . Application à deux théorèmes du type...

On separately subharmonic functions (Lelong’s problem)

A. Sadullaev (2011)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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The main result of the present paper is : every separately-subharmonic function $u (x, y)$ , which is harmonic in $y$ , can be represented locally as a sum two functions, $u = u^{*} + U$ , where $U$ is subharmonic and $u^{*}$ is harmonic in $y$ , subharmonic in $x$ and harmonic in $(x, y)$ outside of some nowhere dense set $S$ .

Some classical function theory theorems and their modern versions

J. L. Doob (1965)

Annales de l'institut Fourier

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On étudie les relations entre les valeurs d’adhérence fine en un point-frontière et les valeurs d’adhérence le long de la normale en ce point pour les fonctions sousharmoniques et les fonctions méromorphes dans un demi-plan. Des théorèmes classiques de limite à la frontière et des généralisations sont ainsi obtenues par des méthodes de théorie de potentiel. Une étude de ce genre des valeurs d’adhérence en un point singulier isolé fournit une version en topologie fine du théorème de Casorati-Weierstrass....

Axiomatic theory of harmonic functions. Balayage

Nicu Boboc, Corneliu Constantinescu, A. Cornea (1965)

Annales de l'institut Fourier

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Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes : $R_{s + t}^{A} = R_{s}^{A} + R_{t}^{A},$ $R_{s}^{A \cup B} + R_{s}^{A \cap B} \leq R_{s}^{A} + R_{s}^{B},$ $A_{n} ↑ A, S_{n} ↑ s \Rightarrow R_{s_{n}}^{A_{n}} ↑ R_{s}^{A},$ où $A$ , $B$ , $A_{n}$ , (resp. $s$ , $t$ , $s_{n}$ ) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour $\hat{R}$ . On démontre aussi que la relation $\int^{*} s d μ^{A} = \int^{*} {\hat{R}}_{s}^{A} d μ$ a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome $D$ de M. Brelot est satisfait,...

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ℋ p -spaces of harmonic functions

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