$f$ étant une fonction mesurable : ${\mathbf{R}}^{+}\to {\mathbf{R}}^{+}$, on cherche à caractériser l’ensemble des couples $(\frac{1}{p},\theta )$ tels que $${\int }_0^{\infty }\left(f\right(t)t^{\theta })p\frac{dt}{t}\<\infty$$ ($\theta$ est réel, et $0\<p\le \infty$).

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underset{\_}{G}=GL\left(N\right)$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$ l’algèbre de Hecke de $\underset{\_}{G}\left(F\right)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${𝒫}_F^n$ de $\underset{\_}{G}({𝒪}_F)$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underset{\_}{G}\left(F\right)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\text{'}}$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\text{'}}}/{𝒫}_{F^{\text{'}}}^r$), il existe ${\gamma }^{\text{'}}\in \underset{\_}{G}(F^{\text{'}})$ semi-simple régulier tel...

$D$ étant un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^n$ donné, on considère l’ensemble $VL(r,k)$ des ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ inclus dans $D$, localement uniformément image de demi-espaces par des homéomorphismes bilipschitiziens. Les cartes locales sont définies sur des boules de rayon $r$, elles sont bilipschitziennes de constante $k$. On montre que cette famille est plus générale que celle des ouverts uniformément lipschitziens. On montre ensuite en utilisant une méthode de réflexions que pour...

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\text{'}}\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$. L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à...

Étant donnés $r$ champs de vecteurs $X_1,...,X_r$, réels, de classe $C^{\infty }$ dans ${\mathbf{R}}^n$, nous étudions l’existence de traces sur une variété de classe $C^{\infty }$, de dimension $(n-1)$, frontière d’un ouvert $\Omega$, des distributions $u\in {𝒟}^{\text{'}}\left(\Omega \right)$ telles que: $$u\in L^2\left(\Omega \right);X_{j}u\in L^2\left(\Omega \right),j=1,...,r.$$