Soit $𝒜$ une classe harmonique de Brelot, définie sur $W$. Il est donné un critère de régularité en termes de barrières, pour les points d’une frontière idéale. Soit $ℌ$ un sous-treillis banachique de ${\mathrm{ℬ𝒜}}_W$. Si $𝒜$ est hyperbolique, la frontière idéale compactifiante déterminée par $ℌ$ contient une “frontière harmonique” ${\Gamma }_{ℌ}$ qui satisfait le critère de régularité et $ℌ\cong {𝒞}_{\mathbf{R}}({\Gamma }_{ℌ})$. Entre autres applications, on a la théorie des frontières de Wiener et Royden et des comparaisons de classes harmoniques.

Let $U$ be a domain of type $H$ in a Brelot potential theory. A compact $K$ in $U$ is a $G_{\delta }$ in $U$ iff $U-K$ has at most countably many components. If $F$ is a relatively closed locally polar subset of $U$, any $G_{\delta }$ in $F$ is a $G_{\delta }$ in $U$. If $V$ is a domain in $U$, all Borel subsets of $\partial V\cap U$ are Baire even if $\partial V\cap U$ is not metrizable. The known results concerning equivalences between weak thinness, thinness, and strong thinness of a set $A$ at a point $x\notin A$ are extended from the case where $\left\{x\right\}$ is a $G_{\delta }$ to the cases in which $A$ meets only...

A subset K of ℂⁿ is said to be regular in the sense of pluripotential theory if the pluricomplex Green function (or Siciak extremal function) $V_K$ is continuous in ℂⁿ. We show that K is regular if the intersections of K with sufficiently many complex lines are regular (as subsets of ℂ). A complete characterization of regularity for Reinhardt sets is also given.

Let $\Delta u={\Sigma }_i\frac{{\partial }^2}{{\partial }_{x_i}^2}$, $Lu={\Sigma }_{i,j}{a}_{ij}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}u+{\Sigma }_i{b}_i\frac{\partial }{\partial x_i}u+cu$ be elliptic operators with Hölder continuous coefficients on a bounded domain $\Omega \subset {\mathbf{R}}^n$ of class $C^{1,1}$. There is a constant $c\>0$ depending only on the Hölder norms of the coefficients of $L$ and its constant of ellipticity such that $$c^{-1}{G}_{\Delta }^{\Omega }\le G_L^{\Omega }\le c{G}_{\Delta }^{\Omega }\text{on}\Omega \times \Omega ,$$ where ${\gamma }_{\Delta }^{\Omega }$ (resp. $G_L^{\Omega }$) are the Green functions of $\Delta$ (resp. $L$) on $\Omega$.

Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes : $$R_{s+t}^A=R_s^A+R_t^A,$$ $$R_s^{A\cup B}+R_s^{A\cap B}\le R_s^A+R_s^B,$$ $$A_n\uparrow A,S_n\uparrow s\Rightarrow R_{s_n}^{A_n}\uparrow R_s^A,$$ où $A$, $B$, $A_n$, (resp. $s$, $t$, $s_n$) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour $\widehat{R}$. On démontre aussi que la relation $${\int }^{*}sd{\mu }^A={\int }^{*}{\widehat{R}}_s^{A}d\mu$$ a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome $D$ de M. Brelot est satisfait,...

On démontre plusieurs théorèmes concernant le balayage des mesures sur un espace harmonique satisfaisant aux axiomes de Bauer, parmi lesquels nous indiquons les suivants : a) la balayée ${\mu }_{A\cup B}$ d’une mesure $\mu$ sur la réunion ${\mu }^A\vee {\mu }^B$ (dans l’espace de Riesz de mesure) ; b) ${ϵ}_x^A\ne {ϵ}_x$ caractérise l’effilement de $A$ en $x$ ; c) il existe un potentiel fini et continue $p$ tel que pour tout ensemble $A\left\{x\right|{\widehat{R}}_p\left(x\right)\<p\left(x\right)\}$ est exactement l’ensemble des points où $A$ est effilé ; d) ${\mu }^A$ est portée par la fermeture fine de $A$ ; e) si $A$ et $B$ sont...