Faisceaux d'espaces de Sobolev et principes du minimum

Denis Feyel; A. de La Pradelle

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Faisceaux maximaux de fonctions associées à un opérateur elliptique du second ordre

Denis Feyel, A. de La Pradelle (1976)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $F$ le faisceau des sursolutions variationnelles d’un opérateur différentiel elliptique du second ordre à coefficients $L_{loc}^{\infty}$ . Soit $\hat{F}$ le faisceau des régularitées essentielles inférieures des éléments de $F$ . On démontre que $\hat{F}$ est contenu dans un seul préfaisceau $F^{*}$ maximal de cônes convexes de fonctions s.c.i. $> - \infty$ vérifiant le principe du minimum sur une base d’ouverts suffisamment petits. On démontre que $F^{*}$ possède toutes les bonnes propriétés d’une théorie locale du potentiel.

Principe du minimum et préfaisceaux maximaux

Denis Feyel, A. de La Pradelle (1974)

Annales de l'institut Fourier

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Le faisceau des fonctions hyperharmoniques dans les ouverts de $R^{n}$ vérifie le principe du minimum et est maximal parmi les faisceaux de cônes convexes de fonctions s.c.i. $> - \infty$ vérifiant ce principe du minimum. On se donne plus généralement un espace localement $Ω$ dans lequel on définit différents principes du minimum, et on étudie la donnée d’un faisceau de cônes convexes de fonctions s.c.i. $> - \infty$ qui soit maximal par rapport à l’un de ces principes. On montre ainsi comment...

Les espaces du type de Beppo Levi

Jacques Deny, Jacques-Louis Lions (1954)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $Ω$ un ouvert quelconque connexe de $R^{n}$ . Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $Ω$ , séparé et complet. On désigne par $B L_{m} (E)$ l’espace des distributions sur $Ω$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$ . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E = L^{2} (Ω)$ , on écrit $B L = B L (Ω)$ au lieu de $B L_{1} (L^{2} (Ω))$ . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B L_{1} (E)$ ; la seconde associe à toute fonction $F \in B L (Ω)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure...

Axiomatique des fonctions biharmoniques. II

Emmanuel P. Smyrnelis (1976)

Annales de l'institut Fourier

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Dans un espace biharmonique, on définit un balayage de couples de mesures et, en particulier, on retrouve les trois mesures du problème de Riquier. Une de ces mesures n’étant pas harmonique, son étude présente un certain intérêt. On établit, dans ce cadre, des inégalités de type Harnack et on introduit les fonctions hyperharmoniques d’ordre 2. Le problème de la construction d’un espace biharmonique à partir de deux espaces harmoniques est aussi étudié. Enfin, on donne des applications...

Topologies fines et compactifications associées à certains espaces de Dirichlet

Denis Feyel, A. de La Pradelle (1977)

Annales de l'institut Fourier

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Nous commençons par définir la notion d’espaces $L^{1} (γ)$ où $γ$ est une capacité, ce qui permet d’introduire la notion de mesure d’énergie finie par rapport à $γ$ , et de parler d’espaces de Dirichlet basés sur $γ$ . Soit d’autre part un espace de Dirichlet en ce sens avec potentiels s.c.i. : on étudie les espaces de Dirichlet sur les ouverts fins correspondants à l’aide d’une compactification. On retrouve plus facilement et on généralise les résultats de D. Feyel et A. de La Pradelle,...

Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Rose-Marie Hervé, Michel Hervé (1969)

Annales de l'institut Fourier

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On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme $- \sum_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + d_{j} u) + \sum_{i} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + c u = 0$ les propriétés démontrées dans le cas $d_{i} = b_{i} = c = 0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $ϵ W_{0}^{1, 2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions...