Soit $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ par un modèle de Weierstrass généralisé : $$y^2+A_{1}xy+A_{3}y=x^3+A_2{x}^2+A_{4}x+A_6;A_i\in \mathbb{Z}.$$ Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme : $$mM=\left(\frac{{\phi }_m\left(M\right)}{{\psi }_n^2\left(m\right)},\frac{{\omega }_m\left(M\right)}{{\psi }_m^3\left(M\right)}\right)=\left(\frac{{\widehat{\phi }}_m}{d^2{\widehat{\psi }}_m^2},\frac{{\widehat{\omega }}_m}{d^3{\widehat{\psi }}_m^3}\right),$$ où ${\phi }_m,\psi \_m,{\omega }_m\in \mathbb{Z}[A_1,\cdots ,A_6,x,y]$ et ${\widehat{\phi }}_m$, ${\widehat{\psi }}_m$, ${\widehat{\omega }}_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$. Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M\left(\mathrm{mod}p\right)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $\left({\widehat{\psi }}_m\right)$ est supérieur...

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:\mathbb{Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1({\psi }^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi$-composante non monogène (pour...

Étude des congruences du type “Kummer” entre les nombres de Bernoulli relatifs à un caractère $\chi$ du groupe $(\mathbf{Z}/f\mathbf{Z}{)}^{*}$. Application à la construction et à l’étude des fonctions $L$ de Léopoldt en utilisant les méthodes de l’interpolation $p$-adique.

Soit $k$ une extension algébrique du corps des nombres rationnels, galoisienne et de degré premier $\ell$. Si ${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_{\ell -1}$ désignent des éléments primitifs conjugués de $k$, on note $\overline{{\theta }_{u,j}}$, $j=1,2,...,\ell -1$, leurs résolvantes de Lagrange. Les nombres ${\mu }_j={\overline{{\theta }_{u,j}}}^{\ell }$ sont des éléments primitifs conjugués du corps $C\left(\ell \right)$ des racines $\ell$-ièmes de l’unité. La première partie est consacrée à la caractérisation de ces $\mu$, on en déduit une paramétrisation des polynômes abéliens de degré $\ell$. On s’intéresse ensuite aux ${\mu }_j$ associés à des éléments...