Soit $\omega \left(x\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(x\right)d{x}_i$ un germe en $0\in {\mathbf{R}}^n$ d’une forme de Pfaff, complètement intégrable ($\omega \wedge d\omega =0$) de classe $C^{\infty }$ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé $({\dim }_{\mathbf{R}}{E}_n/[a_1,a_2,...,a_n]\<\infty ).$ La matrice $\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\left(0\right)\right)$ est symétrique ; soit $q_w$ la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail : i) que $\omega$ possède une intégrale première formelle (i.e., $j^{\infty }\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$ où $f$ et $g$ sont des séries formelles). ii) que, si $\omega$ est analytique et rang $q_w\ge 2$, $\omega$ possède une intégrale première analytique (i.e. $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in 0_n$). iii) que, si...

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons $$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$ où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non...

Nous caractérisons les couples de fonctions différentiables $(f,g)$, définies sur une variété compacte $V$ de dimension $\ge 2$, qui sont simultanément stables en ce sens que, pour tout couple $(f^{\text{'}},g^{\text{'}})$ assez voisin, il existe un difféomorphisme $h$ de $V$ et deux difféomorphismes $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbf{R}$ tels que $h$ et $\lambda$ échangent $f$ et $f^{\text{'}}$ alors que $h$ et $\mu$ échangent $g$ et $g^{\text{'}}$. L’outil essentiel est une technique de résolution des équations du type $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ où les inconnues $X$ et $Y$ sont des fonctions de classe $C^{\infty }$.

Soit $X$ un espace de Banach complexe, et notons $B\left(R\right)\subset X$ la boule de rayon $R$ centrée en $0$. On considère le problème d’approximation suivant: étant donnés $0\<r\<R$, $ϵ\>0$ et une fonction $f$ holomorphe dans $B\left(R\right)$, existe-t-il toujours une fonction $g$, holomorphe dans $X$, telle que $|f-g|\<ϵ$ sur $B\left(r\right)$? On démontre que c’est bien le cas si $X$ est l’espace $l^1$ des suites sommables.